Электромагнитные волны переносят энергию из одних участков пространства в другие. Перенос энергии осуществляется вдоль лучей — воображаемых линий, указывающих направление распространения волны. Важнейшей энергетической характеристикой электромагнитных волн служит плотность потока излучения. Представим себе площадку площадью S, расположенную перпендикулярно лучам. Допустим, что за время t волна переносит через эту площадку энергию W. Иначе говоря, плотность потока излучения — это энергия, переносимая через единичную площадку (перпендикулярную лучам) в единицу времени; или, что то же самое — это мощность излучения, переносимая через единичную площадку. Единицей измерения плотности потока излучения служит Вт/м2. Плотность потока излучения связана простым соотношением с плотностью энергии элек¬тромагнитного поля. Фиксируем площадку S, перпендикулярную лучам, и небольшой промежуток времени t. Сквозь площадку пройдёт энергия: W = ISt. Эта энергия будет сосредоточена в цилиндре с площадью основания S и высотой ct, где c — скорость электромагнитной волны.Объём данного цилиндра равен: V = Sct. Поэтому если w — плотность энергии электромагнитного поля, то для энергии W получим также: W = wV = wSct. Приравнивая правые части формул и и сокращая на St, получим соотношение: I = wc. Плотность потока излучения характеризует, в частности, степень воздействия электромаг¬нитного излучения на его приёмники; когда говорят об интенсивности электромагнитных волн, имеют в виду именно плотность потока излучения. Интересным является вопрос о том, как интенсивность излучения зависит от его частоты. Пусть электромагнитная волна излучается зарядом, совершающим гармонические колебания вдоль оси X по закону x = x0 sin iet. Циклическая частота ш колебаний заряда будет в то же время циклической частотой излучаемой электромагнитной волны. Для скорости и ускорения заряда имеем: v = X = x0ш cos шt и а = v = -x0ш2 sin шt. Как видим, а ~ ш2. Напряжённость электрического поля и индукция магнитного поля в электро¬магнитной волне пропорциональны ускорению заряда: E ~ а и B ~ а. Стало быть, E ~ ш2 и B ~ ш2. Плотность энергии электромагнитного поля есть сумма плотности энергии электрического поля и плотности энергии магнитного поля: w = wэл + wMarH. Плотность энергии электрического поля, как мы знаем, пропорциональна квадрату напряжённости поля: w^ ~ E2. Аналогично можно показать, что wMarH ~ B2. Следовательно, w^ ~ ш4 и wMarH ~ ш4, так что w ~ ш4. Согласно формуле плотность потока излучения пропорциональна плотности энергии: I ~ w. Поэтому I ~ шА. Мы получили важный результат: интенсивность электромагнитного излучения пропорциональна четвёртой степени его частоты. Другой важный результат заключается в том, что интенсивность излучения убывает с увеличением расстояния до источника. Это понятно: ведь источник излучает в разных направ¬лениях, и по мере удаления от источника излучённая энергия распределяется по всё большей и большей площади. Количественную зависимость плотности потока излучения от расстояния до источника легко получить для так называемого точечного источника излучения. Точечный источник излучения — это источник, размерами которого в условиях данной ситуации можно пренебречь. Кроме того, считается, что точечный источник одинаково излучает во всех направлениях. Конечно, точечный источник является идеализацией, но в некоторых задачах эта идеализа¬ция отлично работает. Например, при исследовании излучения звёзд их вполне можно считать точечными источниками — ведь расстояния до звёзд настолько громадны, что их собственные размеры можно не принимать во внимание. На расстоянии r от источника излучённая энергия равномерно распределяется по поверхно¬сти сферы радиуса г. Площадь сферы, напомним, S = 4nr2. Если мощность излучения нашего источника равна P, то за время t через поверхность сферы проходит энергия W = Pt. С помощью формулы получаем тогда: = Pt = P 4 nr2t 4 nr2 Таким образом, интенсивность излучения точечного источника обратно пропорциональна расстоянию до него. Виды электромагнитных излучений Спектр электромагнитных волн необычайно широк: длина волны может измеряться тысячами километров, а может быть меньше пикометра. Тем не менее, весь этот спектр можно разделить на несколько характерных диапазонов длин волн; внутри каждого диапазона электромагнитные волны обладают более-менее схожими свойствами и способами излучения.
Как известно, оптическим излучением называют электромагнитные колебания в диапазоне длин волн от 1 нм до 1 мм. С этим диапазоном граничат с коротковолновой стороны рентгеновское излучение, а с длинноволновой стороны - радиоволны.
На рис. 82 показано положение оптического излучения в общем спектре электромагнитных колебаний, который представлен гамма-излучением, рентгеновским, ультрафиолетовым, видимым и инфракрасным излучениями и радиоволнами. Видимый участок оптического излучения характеризуется длинами волн
Следует отметить, что границы между отдельными участками являются условными. Например, ультрафиолетовое излучение перекрывается рентгеновским, а инфракрасное - радиоволнами.
Спектр излучения, или, как его иногда называют, спектральный состав излучения, представляет собой распределение мощности излучения по длинам волн или частотам колебаний. Излучение, характеризуемое одной длиной волны, является монохроматическим. Спектр излучения такого вида называют линейчатым (рис. 83, а). Излучение, представляющее собой непрерывную совокупность монохроматических излучений, имеет сплошной спектр (рис. 83, б). Диапазон длин волн для сплошного спектра можно рассматривать в пределах от нуля до бесконечности. Источ. никами сплошного спектра обычно являются нагретые твердые тела и жидкости, линейчатого - раскаленные газы или пары, также лазеры.
Идеального монохроматического излучения в природе не существует, поэтому на практике под монохроматическим излучением подразумевают излучение, которое включает в себя такой узкий интервал длин волн, который можно характеризовать одной длиной волны.
Для видимого диапазона оптического излучения немецкий физик Фраунгофер (1787-1826), исследуя излучение Солнца, измерил длины волн, соответствующие определенным линиям в солнечном спектре. Эти линии воспроизводятся спектрами некоторых химических элементов, заполняющих в виде газов или паров колбы ламп с дуговым, тлеющим или высокочастотным разрядом.
Для длин волн линий Фраунгофера фиксируются показатели преломления оптических сред. В табл. 4 приведены обозначения спектральных линий, соответствующие им длины волн и область
Рис. 82. Спектр электромагнитных колебаний
Рис. 83. Виды спектров: а - линейчатый; б - сплошной
спектра (цвет), а также тот химический элемент, линейчатое излучение которого имеет данную спектральную линию.
Энергию оптического излучения как и всякую другую, измеряют в джоулях
Среднюю мощность оптического излучения за время значительно большее периода световых колебаний, называют потоком излучения и оценивают в ваттах
Если в пределах узкого спектрального участка поток излучения равен то отношение
является спектральной плотностью потока излучения.
Таблица 4 (см. скан) Спектральные лаааа Фраунгофера
На рис. 84 показана зависимость от длины волны спектральной плотности потока излучения в сплошном спектре, которую называют спектральной характеристикой потока излучения. Из этой зависимости следует, что поток представляется площадью элементарного участка
Характеристика спектра излучения, равная отношению интенсивности (плотности потока) излучения в узком частотном интервале к величине этого интервала. Является применением понятия спектральной плотности мощности к электромагнитному излучению. Энергия светового пучка неравномерно распределена по волнам различных длин. Зависимость частоты от длины волны описывается как λv=c
Для характеристики распределения излучения по частотам используют интенсивность, приходящуюся на единичный интервал частот. Эта величина называется спектральной плотностью интенсивности излучения и обозначается как I(v) .
Интегральное излучение - это излучение, соответствующее всему спектру частот (длин волн) в пределах от нуля до бесконечности.
89) Дайте определение понятиям: поток и плотность потока спектрального излучение: поток и плотность потока интегрального излучения? Спектральная плотность излучения - характеристика спектра излучения, равная отношению интенсивности (плотности потока) излучения в узком частотном интервале к величине этого интервала. Является применением понятия спектральной плотности мощности к электромагнитному излучению.
Интегральный лучистый поток, излучаемый с единицы поверхности тела по всем направлениям полусферического пространства, называется плотностью интегрального излучения (Вт/м 2)
Суммарное излучение с поверхности тела по всем длинам волн спектра называется интегральным или полным потоком излучения Q
94) ПОГЛОЩАТЕЛЬНАЯ СПОСОБНОСТЬ
тела- отношение поглощаемого телом потока излучения к падающему на него монохроматич. потоку излучения частоты v ; то же, что монохроматический поглощения коэффициент. П. с. зависит от вещества, из которого тело состоит, от формы тела и от его температуры. Если П. с. тела в некотором диапазоне частоты темп-р равна 1, говорят, что оно при этих условиях является абсолютно чёрным телом. поглощательная способность наряду со спектральной испускательной способностью входит в Кирхгофа закон излучения и характеризует отклонение поглощающих свойств данного тела от свойств абсолютно чёрного тела. П. с. – важнейшая характеристика теплового излучения. Сумма П. с., пропускания коэффициента и отражения коэффициента тела равна 1
Пропускательная способность тела.
Данная величина характеризует долю потока энергии теплового
излучения, пропускаемого телом d Ф проп от величины падающего
потока энергии d Ф пад и определяется следующим образом:
d (λ , T) = . (1.4)
Данная величина характеризует интенсивность процесса рыбо-
обработки по глубине объекта.
ОТРАЖАТЕЛЬНАЯ СПОСОБНОСТЬ - величина, характеризующая способность поверхности тела или границ раздела двух сред отражать падающий на неё поток эл--магн. излучения или упругих волн. Количеств, характеристика О. с. - коэф. отражения. О. с. зависит от угла падения и поляризации падающего эл--магн. излучения. Зависимость О. с. поверхности от длины волны излучения в области видимого света воспринимается глазом человека как окраска отражающей поверхности.
96) Абсолютно чёрное тело - физическая идеализация, применяемая в термодинамике, тело, поглощающее всё падающее на него электромагнитное излучение во всех диапазонах и ничего не отражающее. Несмотря на название, абсолютно чёрное тело само может испускать электромагнитное излучение любой частоты и визуально иметьцвет. Спектр излучения абсолютно чёрного тела определяется только его температурой.
Важность абсолютно чёрного тела в вопросе о спектре теплового излучения любых (серых и цветных) тел вообще, кроме того, что оно представляет собой наиболее простой нетривиальный случай, состоит ещё и в том, что вопрос о спектре равновесного теплового излучения тел любого цвета и коэффициента отражения сводится методами классической термодинамики к вопросу об излучении абсолютно чёрного (и исторически это было уже сделано к концу XIX века, когда проблема излучения абсолютно чёрного тела вышла на первый план).
Законы описывающие излучение: 1-й 2-й законы Вина, Закон Релея-Джинса, Закон Планка, Закон Стефана-Больцмана, Закон смещения Вина
97) Не уверен что это правильно!!!
99 . Дать определение понятию «Спектральная степень черноты». Как она меняется у реал. тел при измен. длины волны (на пр. Ме и огнеупоров)?
Спектральная степень черноты – коэффициент, связывающий спектральные плотности потоков собственного излучения данного тела и абсолютно черного тела при одинаковых температурах(ИЛИ отношение энергии излучения тела по данной длине волны к энергии излучения абсолютно черного тела на этой же длине волны при одинаковой температуре).
В области длин волн, характерных для теплового излучения, неокисленная поверхность металла характеризуется непрерывным уменьшением, а диэлектрическая поверхность(огнеупоры) –увеличением спектральной степени черноты при возрастание длины волны.
100 . Что такое Интегральная степень черноты, как с ее пом. определить плотность потока собственного излучения?
Интегральная степень черноты- характеризует интенсивность собственного излучения тела во всем диапазоне длин волн(ИЛИ отношение полной энергии, излучаемой во всем диапазоне длин волн, к полной энергии излучения абсолютно черного тела при этой же температуре).
Плотность потока собственного излучения(по закону Стефана-Больцмана):
q СОБ =ε σ 0 T 4 , где
Т-абсолютная температура тела, К
σ 0 – постоянная Стефана-Больцмана
102 . С какой целью создана модель серого тела. В чем особенность излучения серого тела по сравнению с реальным телом?
Серое тело - тело, коэффициент поглощения которого меньше 1 и не зависит от длины волны излучения
Создано с целью облегчения расчетов радиационного т/обмена в реальных системах в качестве приближения к описанию излучения реальных тел.
Для реальных тел степень черноты зависит от длины волны, а у серых тел степень черноты не зависит ни от t, ни от длины волны и является постоянной.
103 Что больше поток эффективного излучения или поток собственного излучения и в каком случае эти потоки равны?
Поток эффективное излучение – сумма собственного излучения других тел и излучения, отраженного этими телами в процессе радиационного теплообмена:
Q ЭФ = Q СОБ + Q ОТР
Т.е. поток эффективного излучения всегда больше потока собственного излучения, кроме случая когда Q ОТР =0
106 Перечислите основные свойства угловых коэффициентов.
Свойство замкнутости
Свойство взаимности
Свойство невогнутости: угловой коэффициент излучения с некоторой поверхности на саму себя для невогнутых поверхностей равен нулю
108 . В чем особенности излучения газовой среды по сравнению с твёрдыми и жидкими телами и как это сказывается на определении потока собственного излучения газа?
Особенности:
Нет сплошного излучения
Газообразные тела излучают только в определённом спектре волн- спектральное излучение
Для каждого газа присущ свой спектр.
109 Дайте определение результирующему потоку излучения. Как он выражается через поток падающего излучения, и как – через поток собственного излучения?
Поток результирующего излучения – разность между потоками поглощенного и собственного излучения:
Для непрозрачного тела (при R=1-A) справедливо выражение для потока результирующего излучения:
110 . Особенности излучения и поглощения лучистой энергии газами. Определение их оптических свойств.
Спектр излучения газов имеет линейный характер. Газы испускают лучи не всех длин волн. Такое излучение называется селективным.
111 Перенос лучистой энергии в излучённой и поглощенной среде.
113 .Расчет радиационного теплообмена в системе с излучающей и поглощающей средой.
Используют для расчёта зональный метод α среды: 1-газовый объем, 2-замкн. поверхность, ограничив. газ V
Эффективное излучение оси поверхностей является диффузионным.
Расчёт производится в 2 этапа:
Для всех зон определяются потоки эффективного излучения
По найденным значениям эффективных потоков, для зон поверх-х находим потоки результирующего излучения, а для зон объёмных определяем температуры
Плотность потока излучения может изменяться по определенным направлениям излучения. Количество энергия, испускаемое в направлении /, определяемом углом ty с нормалью к поверхности п (рис. 16.1) единицей элементарной площадки в единицу времени в пределах единичного элементарного телесного угла 4о, называется угловой плотностью излучения.
Плотность потока излучения может изменяться по определенным направлениям излучения. Количество энергии, испускаемое в определенном напр-авлении /, определяемым углом г ] с нормалью к поверхности п (рис. 16 - 1) единицей элементарной площадки в единицу времени в пределах элементарного телесного угла do, называется угловой плотностью излучения.
Плотность потока излучения пропорциональна четвертой степени частоты.
Плотность потока излучения Е является интегральной характеристикой, относящейся ко всему диапазону длин волн. Спектральная плотность потока излучения EI dE / dhB характеризует распределение энергии излучения по длинам волн.
Плотность потока излучения, падающего на экран, Е (интенсивность освещенности или просто освещенность) изменяется вследствие отклонения лучей.
Плотность потока излучения определяется прямым и отраженным потоками. Величина отраженного потока зависит от расстояния между источником и отражающими поверхностями.
Плотность потока излучения - количество энергии излучения, проходящее в единицу времени через единицу площади поверхности в пределах полусферического телесного угла.
Плотность потока излучения зависит от угла падения волн на поверхность тела, так как с увеличением угла падения тот же поток излучения распределяется на все большую поверхность.
Плотность потока излучения газа в целом складывается из плотностей потоков излучения всех полос его спектра.
Плотность потока излучения лазерного луча характеризуется отношением общей выходной мощности к площади пятна нагрева в фокусе. Рост плотности потока до 105 - 106 Вт / см2 и распределение его по пятну нагрева диаметром 0 25 - 0 5 мм приводит к получению узкого канала в жидкой фазе, через который излучение проникает в глубь объема разрезаемого материала. Присутствие этой фазы в продуктах разрушения является особенностью лазерной обработки металлов. Она представляется достаточно сложной и должна быть построена с учетом тепловых и гидродинамических явлений.
Ефо - плотность потока излучения, соответствующая углу ф; dQ - элементарный телесный угол, под которым из данной точки излучающего тела видна элементарная площадка на поверхности полусферы, имеющей центр в этой точке; ф - угол между нормалью к излучающей поверхности и направлением излучения. Для реальных тел закон Ламберта выполняется лишь приближенно.
Фнат - плотность потока излучения натекания, попавшего в точку детектирования после прохождения хотя бы части своего первоначального пути через защиту. При таком рассмотрении не учитываются частицы или кванты, траекторию рассеяния которых можно условно обозначить так: источник - заполнитель - защита - заполнитель - детектор. Это означает, что материал защиты можно считать абсолютно черным телом для излучения, попавшего в него из заполнителя.
С понятием плотности потока излучения не связано никакое представление о направлении излучения, вследствие чего эта величина предназначена для характеристики равноярких излучателей по любому направлению.
Описание поля излучения основано на представлении об интенсивности, как энергии, протекающей перпендикулярно плоской поверхности единичной площади за единицу времени в заданном направлении в избранном интервале частот. Полное определение интенсивности требует предварительного введения некоторых понятий.
1.1Контрольнаяплощадка
Назовём контрольной площадкой плоскую поверхность S небольших размеров, через которую проходит излучение. Обозначим через D S её площадь, а n - перпендикулярный ей единичный вектор. Под направлением площадки, как обычно, будем понимать направление вектора n . Контрольная площадка может иметь физическую границу, как участок поверхности планеты. Но её можно вообразить мысленно, например, внутри атмосферы некоторой звезды. Площадка может быть заполнена веществом, которое поглощает падающее на него излучение и переизлучает его в другом направлении. Но её можно представить и совершенно прозрачной, даже лишённой вещества. Важно только, что через площадку проходит излучение. Направление излучения характеризуется двумя величинами: вектором k и телесным углом D W вокруг него.
1.2 Телесный угол
Опишем сферу радиуса R вокруг точки О , в которой расположен наблюдатель. На поверхности сферы выделим участок S площадью S . Отношение
называется телесным углом, под которым видна поверхность S из точки О . Диапазон D W является необходимым элементом определения интенсивности. Дело в том, что количество энергии, протекающей в любом точно фиксированном направлении (D W =0), равно нулю.
Правда, есть одно исключение - точечные источники. В астрономии понятие точечного источника является весьма важным: к ним принадлежат все звёзды, кроме Солнца, а также некоторые другие источники излучения. К точечным источникам мы относим все объекты, угловые размеры которых меньше разрешения применяемой аппаратуры. Поэтому для малых телескопов протяжённый объект может выглядеть как точечный. Вернёмся к определению интенсивности. Величина D W должна быть настолько мала, чтобы излучение не менялось заметным образом внутри выделенного телесного угла. Если это условие выполнено, то энергия D E, прошедшая сквозь контрольную площадку в заданном направлении, пропорциональна . Иногда говорят просто об излучении в определённом направлении, неявно подразумевая некоторую величину телесного угла.
1.3 Интенсивность
Определение интенсивности содержит несколько моментов, каждый из которых полезно изложить отдельно. Сначала развернём площадку вдоль вектора k , затем рассмотрим произвольное направление и, наконец, обсудим соглашение о знаке проходящей через площадку энергии.
Интенсивность в направлении контрольной площадки
Излучение на рис.3 проходит в направлении вектора n . Величину D S положим настолько малой, что излучение можно считать однородным вдоль площадки. Будем вести наблюдение в течение столь короткого промежутка времени, что никакие его характеристики не успевают измениться. В таких условиях количество энергии, протекшей через площадку, пропорционально произведению D S × D W × D t . поэтому отношение
не зависит от размеров контрольной площадки, продолжительности измерения и выбранного угла раствора. Иными словами, оно характеризует именно поле излучения в направлении вектора n .
Интенсивность в произвольном направлении
Обозначим посредством q угол между векторами k и n . В силу произвольности их относительного расположения, он может принимать любое значение между нулём и p . Рассуждения предыдущего раздела отвечают случаю q =0. Мы исключаем ситуацию, когда векторы k и n перпендикулярны (q =p /2), так как вопрос о протекании энергии вдоль ребра площадки лишён смысла. Таким образом, мы приходим к диапазону
Величина энергии, протекшей сквозь площадку при фиксированном поле, пропорциональна площади её проекции на плоскость волнового фронта:
На рис.4 образующая горизонтального цилиндра направлена вдоль вектора k . Строго говоря, мы должны были нарисовать не цилиндр, а усечённый конус с некоторым телесным углом D W , но для иллюстрации формулы (3.2) это не имеет значения. Контрольные площадки представляют собой сечения цилиндра наклонными плоскостями. Все площадки мы видим с ребра. Стрелками обозначено направление вектора n каждой площадки. Внутри цилиндра протекает одна и та же энергия, независимо от направления площадок. Величина D E пропорциональна вертикальному сечению цилиндра. Следовательно, отношение
уже не зависит от направления контрольной площадки и может быть принято в качестве характеристики поля излучения в данном направлении.
Интенсивностью называется предел отношения (3.3), когда D t , D S и D W стремятся к нулю:
Ниже, в десятом разделе этой главы мы уточним последнее определение, включив зависимость интенсивности от частоты или от длины волны излучения.
Интенсивность может зависеть от времени, от положения точки в пространстве и от направления. Если поле излучения не меняется во времени, то оно называется стационарным. В этом случае интенсивность от времени не зависит. Аналогично, интенсивность не зависит от пространственных координат в случае однородного поля излучения и не зависит от направления, если поле излучения изотропно.
Соглашение о знаке энергии
Интенсивность всегда считается положительной величиной, то есть D E cosq > 0. В то же время cosq может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Это заставляет нас приписывать определённый знак проходящей через площадку энергии:
.
Если θ - острый угол, то говорят об "исходящем" из площадки излучении (ΔE > 0). В противном случае считают, что излучение "входит" в неё. Этой терминологии мы будем придерживаться в дальнейшем. Правда, нужно помнить, что она условна, так как определяется выбором знака направления вектора n. Сменив направление n на противоположное, мы превращаем "входящее" излучение в "исходящее" и наоборот.
1.4 Поток
Поток является мерой полной энергии, протекающей через контрольную площадку. Разобьём полный телесный угол 4π на N участков малого размера:
с учётом соглашения (3.5) о знаке ΔE i . В пределе (4.1) превращается в интеграл
по всем направлениям с учётом знака dE . Во время суммирования по углам мы полагали величины D S и D t настолько малыми, что энергия D E пропорциональна произведению D S × D t .
Потоком F называется предел отношения
при стремящемся к нулю знаменателе:
Сопоставляя определения интенсивности (3.4) и потока (4.2), приходим к важной формуле
выражающей поток через интенсивность.
Отметим отличие интенсивности от потока. Хотя понятие интенсивности мы ввели с помощью контрольной площадки, тем не менее, интенсивность является характеристикой только поля излучения и никак не зависит от измерительного прибора. Мы говорим об интенсивности излучения в произвольно выбранном направлении, не уточняя, как именно расположен измерительный прибор. Наоборот, бессмысленно говорить о «потоке в некотором направлении», так как при его вычислении выполняется суммирование по всем углам. Правда, величина потока зависит от направления контрольной площадки. Но мы всегда будем предполагать, что контрольная площадка S направлена вдоль луча зрения на источник света.
1.5 Поле излучения источника малых угловых размеров
В астрономических приложениях часто нужно знать интенсивность и поток излучения, создаваемого источником, угловой размер которого мал. Например, радиус Солнца равен 15΄ = 4.36∙10 -3 рад. Характеристики излучения изотропного и однородного источника малых угловых размеров могут быть найдены сравнительно простым путём. На рис. 5 источник света, линейный радиус которого равен R , расположен на большом расстоянии r >>R от наблюдателя. При малых угловых размерах справедливо
и угловой радиус источника равен
Последняя формула справедлива, если мы пренебрегаем различием длин дуги и стягивающей её хорды. Площадь, занимаемая источником на сфере, в том же приближении можно оценить как p R 2 , откуда стягиваемый им телесный угол W 0 , согласно определению (1.1), получается равным
.
Светимость источника обозначим L . Через поверхность сферы радиуса r , центр которой совпадает с источником излучения, за единицу времени проходит количество энергии, равное L , а через единицу поверхности, соответственно, L / 4πr 2 . Согласно приведённому выше определению, эта величина и есть поток излучения F :
.
При выводе этой формулы мы воспользовались предположением об изотропии источника излучения.
Перейдём к вычислению интенсивности. Согласно предположению об однородности, с любого участка единичной площади, расположенного на поверхности источника в единицу времени исходит одна и та же энергия, которую мы обозначим I 0 . Вне диска источника излучения нет. В силу его малых угловых размеров, мы можем полагать величину cos θ равной единице при θ < θ 0 . В этом случае (4.3) сводится к
.
Из (5.1) – (5.3) получаем явное выражение для I 0:
.
Теперь мы можем записать окончательную формулу для интенсивности как функции направления:
,
где I 0 даётся формулой (5.4).
Интенсивность и поток по‑разному описывают изменение поля излучения по мере удаления источника. Как следует из (5.2), поток уменьшается обратно пропорционально квадрату расстояния r . Амплитуда интенсивности I 0 , согласно (5.4), от расстояния не зависит, но уменьшается диапазон углов θ 0 , в котором интенсивность отлична от нуля.
Точечный источник излучения
Чтобы перейти к случаю точечного источника, надо радиус R устремить к нулю. В результате амплитуда I 0 из (5.4) становится неограниченно большой, а область, в которой интенсивность отлична от нуля, согласно (5.5), стягивается в точку. Таким образом, для описания точечного источника интенсивность оказывается неудобным инструментом, и ею следует пользоваться только для протяжённых источников.
Понятие потока лишено такого недостатка. В формулу (5.2) входит только одна характеристика источника - светимость L . Поток не зависит от радиуса объекта, поэтому он применим равно как для протяжённых, так и для точечных источников излучения.
Итак, в случае протяжённого источника мы можем измерить интенсивность и поток излучения, а в случае точечного - только поток.
1.6 Средняя интенсивность и плотность энергии
Средняя интенсивность J определяется как делённый на 4π интеграл от интенсивности по всем направлениям:
В случае изотропного поля излучения интенсивность как постоянную величину можно вынести за знак интеграла. Учитывая, что телесный угол полной сферы равен 4π, получим
Средняя интенсивность, в отличие от потока, не зависит от направления контрольной площадки, так как мы суммируем именно интенсивность, а не прошедшую через площадку энергию.
Важной характеристикой излучения является плотность энергии U . По своему смыслу она не зависит от направления. Но для её вычисления введём промежуточную величину U Ω -плотность энергии квантов летящих в направлении k внутри конуса с телесным углом ΔΩ. За время D t через площадку D S , расположенную перпендикулярно рассматриваемому направлению, проходит количество энергии, равное произведению UΩ на объём параллелепипеда площадью D S и высотой c D t , где с - скорость света. Воспользовавшись (3.4 ), получим
Проинтегрировав последнее выражение по всем направлениям, приходим к окончательному результату:
Таким образом, средняя интенсивность связана с плотностью энергии излучения.
1.7 Интегрирование по угловым переменным.
В разделе 1.5 мы нашли связь между интенсивностью и потоком, не выполняя вычислений интегралов по направлениям. Нам это удалось сделать в силу единственной причины: источник излучения предполагался настолько малым, что мы могли принять sinθ ≈ θ и cos θ ≈ 1. Но в случае источника произвольных размеров необходимо развить математический аппарат, позволяющий нам фактически выполнить интегрирование в (4.3) и других подобных выражениях.
Сферическая система координат
|
Рис. 6 . Сферическая система координат. |
Вычисление интеграла типа (4.3) требует введения системы координат на сфере. Отсчёт углов производится от большого круга PQ , называемого «нулевым меридианом», и от точки P на нём, называемой «полюсом». На рис.6 изображена сфера с центром в точке О, полюсом Р и нулевым меридианом. Большой круг E означает экватор. Плоскость экватора проходит через центр сферы перпендикулярно радиусу OP . Экватор пересекает нулевой меридиан в точке Q .
Пусть M - произвольная точка на сфере. Проведём через P и M меридиан (большой круг) и обозначим как R его точку пересечения с экватором, а θ - угол между OP и OM . Использование той же буквы, что и для угла между введёнными выше векторами k и n является традиционным и не приводит к путанице. Более того, в проводимых ниже расчётах мы будем выбирать систему отсчёта таким образом, что OP и OM действительно будут иметь смысл n и k . Плоскость экватора при этом совпадает с контрольной площадкой.Угол θ принимает значения из диапазона
Если точка M находится в верхней полусфере (как на рис.6), то θ<π/2, а если в нижней, то θ>π/2. Положению M на экваторе отвечает θ=π/2, на «северном» (P ) полюсе θ=0, а на «южном» θ=π.
Направление нулевого меридиана PM определяется углом φ, отсчитываемом в плоскости экватора между OQ и OT :
Итак, положение любой точки на сфере можно задать с помощью углов θ и φ, изменяющихся в диапазоне (7.1).
Элемент телесного угла
Выразим элемент телесного угла ΔΩ через интервалы линейных углов Δθ и Δφ. На рис.7 сферический прямоугольник ABCD образован пересечением двух меридианов сферы радиуса R с двумя параллелями - малыми кругами, параллельными экватору. Будем считать его размеры AB и BC настолько малыми, что по форме он близок к плоскому прямоугольнику, следовательно, его площадь ΔS приблизительно равна произведению прилежащих сторон a =AB и b = BC . Введём обозначение Δθ для угла между радиусами OA и OB . Длина дуги AB равна R ∙ Δθ . Обозначим посредством F точку пересечения малого круга BC и оси OP . Радиус R θ параллели BC равен
,
где Δφ - угол между FB и FC . Таким образом,
Устремив Δθ и Δφ к нулю и следуя определению телесного угла, окончательно получим
.
Во всех решаемых нами задачах мы ограничимся изотропными источниками. Их поле излучения обладает достаточно высокой степенью симметрии. По крайней мере, оно всегда цилиндрически симметрично, если полюс P сферической системы координат направлен в центр источника.Направление нулевого меридиана можно выбирать произвольно, так как при таком выборе системы координат интенсивность не зависит от азимутального угла j .Поэтому интегрирование по j в данном случае сводится просто к умножению на 2p . В дальнейшем мы будем считать, что система отсчёта выбрана именно таким образом. Следовательно, интенсивность зависит только от азимутального угла q , а при интегрировании по телесному углу справедливо равенство
.
Ниже мы будем всегда пользоваться простой формулой (7.3), предполагая выполненными условия её применимости.
1.8. Поток - мера анизотропии интенсивности
Излучение, как уже говорилось выше, называется изотропным, если его интенсивность не зависит от направления:
где I 0 - некоторое число.
Поток изотропного излучения через любую площадку равен нулю. Это утверждение станет очевидным, если мы выберем следующий способ суммирования энергии в (4.1). Для каждого направления сложим количество энергии, протекающей в положительную и отрицательную стороны. По предположению, они одинаковы, следовательно, их сумма равна нулю. Таким образом, мы разбили сумму (4.1) на нулевые слагаемые, значит, и полный поток равен нулю.
В равенстве нулю полного потока излучения можно убедиться и путём прямого вычисления по формуле (7.3). Вынося константу I 0 за знак интеграла, получим
.
Равенство нулю потока является необходимым, но не достаточным условием изотропии излучения. Рассмотрим, например, функцию
.
Она описывает анизотропное излучение. Однако поток равен нулю:
.
Это произошло в силу следующей причины. Мы подобрали направление контрольной площадки таким образом, что интенсивность в обоих направлениях вдоль вектора n одинакова:
.
При любом другом выборе n поток будет отличен от нуля. Следовательно, заключение о степени изотропии излучения можно сделать только после измерения потока при всех возможных направлениях контрольной площадки.
1.9 Граница изотропного источника и астрофизический поток
|
Рис. 8 . Граница изотропного источника. |
Пусть источник представляет собой полупространство, ограниченное плоскостью G . Будем считать, что внутри источника поле излучения является изотропным, а входящее в него справа излучение отсутствует. Таким образом, справа от границы G излучение является анизотропным. Направим вектор n перпендикулярно границе G , как на рис.8, и запишем интенсивность как функцию угла θ:
.
Такая модель лежит в основе теории звёздных атмосфер. Вычисление потока проводим по формуле (7.3):
.
Формула, связывающая поток и амплитуду интенсивности для границы плоскопараллельной атмосферы
,
часто используется в другой форме. Ведём
величину
Её принято называть «астрофизическим потоком». Формула (9.2) теперь принимает совсем простой вид:
.
Подчеркнём, что (9.2) и (9.4) ни в коем случае не есть связь между интенсивностью и потоком. Это следует хотя бы из того, что поток - это число, а интенсивность - функция угла. Равенство числа и функции возможно только в том случае, если функция сводится к постоянной величине. Но интенсивности, равной I 0 во всех направлениях, соответствует поток, равный нулю. Соотношения (9.2) и (9.4) между потоком и амплитудой анизотропной интенсивности справедливы именно для функции I (θ) из (9.1). Для краткости иногда пишут, что «астрофизический поток на границе излучающего тела равен интенсивности», подразумевая сказанное выше.
1.10 Спектральные характеристики излучения
Перейдём к изучению интенсивность как функции частоты. Для этого вернёмся к определению (3.3). Помимо всех указанных там характеристик, будем полагать, что проходящая через контрольную площадку энергия ΔE сосредоточена в некотором интервале частот Δν, настолько узком, что величина ΔE пропорциональна Δν. Коэффициент пропорциональности I ν называется интенсивностью, рассчитанной на единичный интервал частот:
Аналогично можно ввести I λ - интенсивность в единичном интервале длин волн:
В области
Максимума I n .
На достаточно большом спектральном интервале функции I λ и I ν зависят от частоты (или от длины волны) немонотонно: они возрастают в области малых частот, проходят через максимум и далее убывают. Нелинейность связи между частотой и длиной волны приводит к тому, что положения максимумов I λ и I ν различаются. Покажем это двумя способами, выбрав сначала более наглядный. На рис.9 диапазон частот вблизи максимума I ν разбит на равные промежутки Δν. В этой области спектра величина I ν почти не меняется от интервала к интервалу. Но в силу нелинейной связи (10.3) одинаковым частотным интервалам соответствуют уменьшающиеся с частотой промежутки длин волн Δλ. В самом деле, согласно (10.4) имеем:
Итак, уменьшение интервала длин волн в области максимума I ν сопровождается увеличением I λ . Следовательно, максимум I λ приходится на бόльшие частоты, чем максимум I ν .
Тот же самый результат можно получить путём дифференцирования (10.5):
Из соотношения (10.3) между частотой и длиной волны вытекают следующие неравенства:
.
Поэтому в точке максимума I ν , где
производная dI λ /d ν оказывается положительной. Следовательно, её максимум лежит на более высоких частотах.
Из (10.7) ясно видно, что различие частот максимумов I ν и I λ обусловлено именно нелинейностью функции ν(λ). При линейной связи второе слагаемое справа было бы равно нулю, что означает совпадение максимумов.
Звёздная величина
Звёздная величина определяется потоком излучения от источника F λ и спектральной чувствительностью приёмника W (λ):
.
Здесь A - некоторая константа, численное значение которой может быть выбрано любым. Напомним, что в силу (10.5) тот же результат получится, если в качестве переменной интегрирования выбрать частоту и заменить F λ на F n .
Отметим важное отличие звёздной величины от потока. Поток излучения через фиксированную площадку остаётся одним и тем же, каким бы прибором его не измеряли, в то время как звёздная величина зависит от спектральной чувствительности приёмника. Измерив звёздную величину одного и того же источника излучения с помощью разных приборов, мы получим, вообще говоря, разные результаты. Понятие звёздной величины не имеет смысла, если не указаны функция W (λ) и константа A , или, как принято говорить, не установлена фотометрическая система.
В настоящее время есть несколько фотометрических систем; причём самой распространённой из них является система UBV , или система Джонсона. Она состоит из нескольких фильтров, кривые реакции трёх из них приведены на рис.10. Звёздные величины в системе Джонсона определяются следующим образом
Здесь введено обозначение
Интегралы ΔB и ΔV вычисляются аналогично, только в подынтегральных функциях вместо кривой пропускания W U (λ) надо писать, соответственно, W B (λ) и W V (λ). Источник излучения в системе UBV характеризуется показателями цвета U - B и B - V :
Численные значения констант A в правой части (10.9) системы Джонсона выбраны таким образом, чтобы показатели цвета U - B и B - V оказались равными нулю для звёзд спектрального класса А0.
