Пуассона распределение случайной величины. Распределение пуассона

Например, регистрируется количество дорожных происшествий за неделю на определенном участке дороги. Это число представляет собой случайную величину, которая может принимать значения: (верхнего предела нет). Число дорожных происшествий может быть каким угодно большим. Если рассмотреть какой-либо короткий временной промежуток в течение недели, скажем минуту, то происшествие либо произойдет на его протяжении, либо нет. Вероятность дорожного происшествия в течение отдельно взятой минуты очень мала, и примерно такая же она для всех минут.

Распределение вероятностей числа происшествий описывается формулой:

где m - среднее количество происшествий за неделю на определенном участке дороги; е - константа, равная 2,718...

Характерные особенности данных, для которых наилучшим образом подходит распределение Пуассона, следующие:

1. Каждый малый интервал времени может рассматриваться как опыт, результатом которого является одно из двух: либо происшествие (“успех”), либо его отсутствие (“неудача”). Интервалы столь малы, что может быть только один “успех” в одном интервале, вероятность которого мала и неизменна.

2. Число “успехов" в одном большом интервале не зависит от их числа в другом, т.е. “успехи” беспорядочно разбросаны по временным промежуткам.

3. Среднее число “успехов” постоянно на протяжении всего времени. Распределение вероятностей Пуассона может быть использовано не только при работе со случайными величинами на временных интервалах, но и при учете дефектов дорожного покрытия на километр пути или опечаток на страницу текста. Общая формула распределения вероятностей Пуассона:

где m - среднее число “успехов” на единицу.

В таблицах распределения вероятностей Пуассона значения табулированы для определенных значений m и

Пример 2.7. В среднем на телефонной станции заказывают три телефонных разговора в течение пяти минут. Какова вероятность, что будет заказано 0, 1,2, 3, 4 или больше четырех разговоров в течение пяти минут?

Применим распределение вероятностей Пуассона, так как:

1. Существует неограниченное количество опытов, т.е. маленьких отрезков времени, когда может появиться заказ на телефонный разговор, вероятность чего мала и постоянна.

2. Считается, что спрос на телефонные разговоры беспорядочно распределен во времени.

3. Считается, что среднее число телефонных разговоров в любом -минутном отрезке времени одинаково.

В этом примере среднее число заказов равно 3 за 5 минут. Отсюда, распределение Пуассона:

При распределении вероятностей Пуассона, зная среднее число “успехов” на 5-минутном промежутке (например как в примере 2.7), для того чтобы узнать среднее число “успехов” за один час, нужно просто умножить на 12. В примере 2.7 среднее число заказов в час составит: 3 х 12 = 36. Аналогично, если требуется определить среднее число заказов в минуту:

Пример 2.8. В среднем за пять дней рабочей недели на автоматической линии происходят 3,4 неполадок. Какова вероятность двух неполадок в каждый день работы? Решение.

Можно применить распределение Пуассона:

1. Существует неограниченное количество опытов, т.е. малых промежутков времени, в течение каждого из них может произойти или не произойти неполадка на автоматической линии. Вероятность этого для каждого промежутка времени мала и постоянна.

2. Предполагается, что неполадки беспорядочно расположены во времени.

3. Предполагается, что среднее число неполадок в течение любых пяти дней постоянно.

Среднее число неполадок равно 3, 4 за пять дней. Отсюда число неполадок в день:

Следовательно,

Как сразу стали поступать запросы: «Где Пуассон? Где задачи на формулу Пуассона?» и т.п . И поэтому я начну с частного применения распределения Пуассона – ввиду большой востребованности материала.

Задача до боли эйфории знакома:

И следующие две задачи принципиально отличаются от предыдущих:

Пример 4

Случайная величина подчинена закону Пуассона с математическим ожиданием . Найти вероятность того, что данная случайная величина примет значение, меньшее, чем ее математическое ожидание.

Отличие состоит в том, что здесь речь идёт ИМЕННО о распределении Пуассона.

Решение : случайная величина принимает значения с вероятностями:

По условию, , и тут всё просто: событие состоит в трёх несовместных исходах :

Вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее, чем ее математическое ожидание.

Ответ :

Аналогичная задача на понимание:

Пример 5

Случайная величина подчинена закону Пуассона с математическим ожиданием . Найти вероятность того, что данная случайная величина примет положительное значение.

Решение и ответ в конце урока.

Помимо приближения биномиального распределения (Примеры 1-3), распределение Пуассона нашло широкое применение в теории массового обслуживания для вероятностной характеристики простейшего потока событий. Постараюсь быть лаконичным:

Пусть в некоторую систему поступают заявки (телефонные звонки, приходящие клиенты и т.д.). Поток заявок называют простейшим , если он удовлетворяет условиям стационарности , отсутствия последствий и ординарности . Стационарность подразумевает то, что интенсивность заявок постоянна и не зависит от времени суток, дня недели или других временнЫх рамок. Иными словами, не бывает «часа пик» и не бывает «мёртвых часов». Отсутствие последствий означает, что вероятность появления новых заявок не зависит от «предыстории», т.е. нет такого, что «одна бабка рассказала» и другие «набежали» (или наоборот, разбежались). И, наконец, свойство ординарности характеризуется тем, что за достаточно малый промежуток времени практически невозможно появление двух или бОльшего количества заявок. «Две старушки в двери?» – нет уж, увольте.

Итак, пусть в некоторую систему поступает простейший поток заявок со средней интенсивностью заявок в минуту (в час, в день или в произвольный промежуток времени). Тогда вероятность того, что за данный промежуток времени , в систему поступит ровно заявок, равна:

Пример 6

Звонки в диспетчерскую такси представляет собой простейший пуассоновский поток со средней интенсивностью 30 вызовов в час. Найти вероятность того, что: а) за 1 мин. поступит 2-3 вызова, б) в течение пяти минут будет хотя бы один звонок.

Решение : используем формулу Пуассона:

а) Учитывая стационарность потока, вычислим среднее количество вызовов за 1 минуту:
вызова – в среднем за одну минуту.

По теореме сложения вероятностей несовместных событий:
– вероятность того, что за 1 минуту в диспетчерскую поступит 2-3 вызова.

б) Вычислим среднее количество вызов за пять минут:

Основные законы распределения случайной величины

ЛЕКЦИЯ 9

(продолжение)

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна р . Для определения вероятности k – появлений события А в этих испытаниях используют, как вам уже известно, формулу Бернулли. Однако, как быть если n велико, а вероятность р события А достаточно мала (). В таких случаях прибегают к асимптотической формуле Пуассона.

Итак, поставим своей задачей найти вероятность того, что при очень большом числе испытаний, в каждом из которых вероятность события очень мала, событие наступит ровно k раз.

Сделаем важное допущение: пусть произведение сохраняет постоянное значение, а именно . Это означает, что среднее число появлений события в различных сериях испытаний, то есть при различных значениях n , остаётся неизменным.

Воспользуемся формулой Бернулли для вычисления интересующей нас вероятности:

Приняв во внимание, что n имеет очень большое значение, вместо найдём . При этом будет найдено лишь приближённое значение отыскиваемой вероятности: n хотя и велико, но всё же конечно, а при отыскании предела мы устремим n к бесконечности.

В результате (для простоты записи знак приближённого равенства опущен) запишем

.

Эта формула выражает закон распределения Пуассона вероятностей массовых (n велико) редких (р мало) событий.

Таким образом, будем говорить, что дискретная случайная величина , принимающая счётное множество значений, подчиняется закону распределения Пуассона, если вероятности её возможных значений задаются выражением:

Свойства распределения Пуассона:

Действительно:

2. .

3. если , то из биномиального распределения следует закон распределения Пуассона.

ПРИМЕР 1 .Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равна 0,0002. Найти вероятность того, что на базу прибудут: а) три негодных изделия; б) не более трёх повреждённых изделия.

Решение : по условию n =5000, p =0,0002. Найдём .

а) k = 3. Искомая вероятность по формуле Пуассона приближённо равна

.

б) Пусть случайная величина Х – число изделий, повреждённых в пути, то есть . Очевидно, что данная случайная величина распределена по биномиальному закону. Следовательно, искомую вероятность можно вычислить по формуле

Но, так как , то по свойству 3 о можем воспользоваться законом распределения Пуассона, то есть, можем записать.

Краткая теория

Пусть производится независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события равна . Для определения вероятности появлений события в этих испытаниях используют формулу Бернулли . Если же велико, то пользуются или . Однако эта формула непригодна, если мала. В этих случаях ( велико, мало) прибегают к асимптотической формуле Пуассона .

Поставим перед собой задачу найти вероятность того, что при очень большом числе испытаний, в каждом из которых вероятность события очень мала, событие наступит ровно раз. Сделаем важное допущение: произведение сохраняет постоянное значение, а именно . Это означает, что среднее число появления события в различных сериях испытаний, т.е. при различных значениях , остается неизменным.

Пример решения задачи

Задача 1

На базе получено 10000 электроламп. Вероятность того, что в пути лампа разобьется, равна 0,0003. Найдите вероятность того, что среди полученных ламп будет пять ламп разбито.

Решение

Условие применимости формулы Пуассона:

Если вероятность появления события в отдельном испытании достаточно близка к нулю, то даже при больших значениях количества испытаний вероятность, вычисляемая по локальной теореме Лапласа, оказывается недостаточно точной. В таких случаях используют формулу, выведенную Пуассоном.

Пусть событие – 5 ламп будет разбито

Воспользуемся формулой Пуассона:

В нашем случае:

Ответ

Задача 2

На предприятии 1000 единиц оборудования определенного вида. Вероятность отказа единицы оборудования в течение часа составляет 0,001. Составить закон распределения числа отказов оборудования в течение часа. Найти числовые характеристики.

Решение

Случайная величина – число отказов оборудования, может принимать значения

Воспользуемся законом Пуассона:

Найдем эти вероятности:

.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона равна параметру этого распределения:

Средняя стоимость решения контрольной работы 700 - 1200 рублей (но не менее 300 руб. за весь заказ). На цену сильно влияет срочность решения (от суток до нескольких часов). Стоимость онлайн-помощи на экзамене/зачете - от 1000 руб. за решение билета.

Заявку можно оставить прямо в чате, предварительно скинув условие задач и сообщив необходимые вам сроки решения. Время ответа - несколько минут.

Снова напомним ситуацию, которая была названа схемой Бернулли: производится n независимых испытаний, в каждом из которых некоторое событие А может появиться с одной и той же вероятностью р . Тогда для определения вероятности того, что в этих n испытаниях событие А появится ровно k раз (такая вероятность обозначалась P n (k ) ) может быть точно вычислена по формуле Бернулли , гдеq =1− p . Однако при большом числе испытаний n расчеты по формуле Бернулли становятся очень неудобными, так как приводят к действиям с очень большими числами. Поэтому (если помните − это когда-то проходилось при изучении схемы и формулы Бернулли при изучении первой части теории вероятностей «Случайные события») при больших n предлагались значительно более удобные (хотя и приближенные) формулы, которые оказывались тем точнее, чем больше n (формула Пуассона, локальная и интегральная формула Муавра-Лапласа). Если в схеме Бернулли число опытов n велико, а вероятность р появления события А в каждом испытании мала, то хорошее приближение дает упомянутая формула Пуассона
, где параметра = n ∙ p . Эта формула и приводит к распределению Пуассона. Дадим точные определения

Дискретная случайная величина Х имеет распределение Пуассона , если она принимает значения 0, 1, 2, ... с вероятностями р 0 , р 1 , ... , которые вычисляются по формуле

а число а является параметром распределения Пуассона. Обращаем внимание, что возможных значений с.в. Х бесконечно много − это все целые неотрицательные числа. Таким образом, д.с.в Х с распределением Пуассона имеет следующий закон распределения:

При вычислении математического ожидания (по их определению для д.с.в. с известным законом распределения) придется теперь считать не конечные суммы, а суммы соответствующих бесконечных рядов (так как таблица закона распределения имеет бесконечно много столбцов). Если же посчитать суммы этих рядов, то окажется, что и математическое ожидание, и дисперсия случайной величины Х с распределением Пуассона совпадает с параметром а этого распределения:

,
.

Найдем моду d (X ) распределенной по Пуассону случайной величины Х . Применим тот же самый прием, что был использован для вычисления моды биномиально распределенной случайной величины. По определению моды d (X )= k , если вероятность
наибольшая среди всех вероятностей р 0 , р 1 , ... . Найдем такое число k (это целое неотрицательное число). При таком k вероятность p k должна быть не меньше соседних с ней вероятностей: p k −1 ≤ p k ≤ p k +1 . Подставив вместо каждой вероятности соответствующую формулу, получим, что число k должно удовлетворять двойному неравенству:

.

Если расписать формулы для факториалов и провести простые преобразования, можно получить, что левое неравенство дает k ≤ а , а правое k ≥ а −1 . Таким образом, число k удовлетворяет двойному неравенству а −1 ≤ k ≤ а , т.е. принадлежит отрезку [а −1, а ] . Поскольку длина этого отрезка, очевидно, равна 1 , то в него может попасть либо одно, либо 2 целых числа. Если число а целое, то в отрезке [а −1, а ] имеется 2 целых числа, лежащих на концах отрезка. Если же число а не целое, то в этом отрезке есть только одно целое число.

Таким образом, если число а целое, то мода распределенной по Пуассону случайной величины Х принимает 2 соседних значения: d (X )=а−1 и d (X )=а . Если же число а не целое, то мода имеет одно значение d (X )= k , где k есть единственное целое число, удовлетворяющее неравенству а −1 ≤ k ≤ а , т.е. d (X )= [а ] .

Пример . Завод отправил на базу 5000 изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равно 0.0002 . Какова вероятность, что повредится 18 изделий? Каково среднее значение поврежденных изделий? Каково наивероятнейшее число поврежденных изделий и какова его вероятность?