Одной из важнейших задач дифференциального исчисления является разработка общих примеров исследования поведения функций.
Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке , а ее производная положительна или равна 0 на интервале (a,b), то y=f(x) возрастает на (f"(x)0). Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке , а ее производная отрицательна или равна 0 на интервале (a,b), то y=f(x) убывает на (f"(x)0)
Интервалы, в которых функция не убывает или не возрастает, называются интервалами монотонности функции. Характер монотонности функции может изменяться только в тех точках ее области определения, в которой меняется знак первой производной. Точки, в которых первая производная функции обращается в нуль или терпит разрыв, называются критическими.
Теорема 1 (1-ое достаточное условие существования экстремума).
Пусть функция y=f(x) определена в точке х 0 и пусть существует окрестность δ>0 такое, что функция непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале (x 0 -δ,x 0)u(x 0 , x 0 +δ), причем ее производная сохраняет постоянный знак на каждом из этих интервалов. Тогда если на x 0 -δ,x 0) и (x 0 , x 0 +δ) знаки производной различны, то х 0 - точка экстремума, а если совпадают, то х 0 - не является точкой экстремума. При этом если при переходе через точку х0, производная меняет знак с плюса на минус (слева от х 0 выполняется f"(x)>0, то х 0 - точка максимума; если же производная меняет знак с минуса на плюс (справа от х 0 выполняется f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.
Точки максимума и минимума называют точками экстремума функции, а максимумы и минимумы функции – ее экстремальными значениями.
Теорема 2 (необходимый признак локального экстремума).
Если функция y=f(x) имеет в токе x=x 0 экстремум, то либо f’(x 0)=0, либо f’(x 0) не существует.
В точках экстремума дифференцируемой функции касательная к ее графику параллельна оси Ox.
Алгоритм исследования функции на экстремум:
1)Найти производную функции.
2)Найти критические точки, т.е. точки, в которых функция непрерывна, а производная равна нулю или не существует.
3)Рассмотреть окрестность каждой из точек, и исследовать знак производной слева и справа от этой точки.
4)Определить координаты экстремальных точек, для этого значения критических точек подставить в данную функцию. Используя достаточные условия экстремума, сделать соответствующие выводы.
Пример 18. Исследовать на экстремум функцию у=х 3 -9х 2 +24х
Решение.
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) Приравняв производную нулю, находим x 1 =2, x 2 =4. В данном случае производная определена всюду; значит, кроме двух найденных точек, других критических точек нет.
3) Знак производной y"=3(x-2)(x-4) изменяется в зависимости от промежутка так, как показано на рисунке 1. При переходе через точку x=2, производная меняет знак с плюса на минус, а при переходе через точку x=4 - с минуса на плюс.
4) В точке x=2 функция имеет максимум y max =20, а в точке x=4 - минимум y min =16.
Теорема 3. (2-ое достаточное условие существование экстремума).
Пусть f"(x 0) и в точке х 0 существует f""(x 0). Тогда если f""(x 0)>0, то х 0 – точка минимума, а если f""(x 0)<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).
На отрезке функция y=f(x) может достигать наименьшего (у наим) или наибольшего (у наиб) значения либо в критических точках функции, лежащих в интервале (а;b), либо на концах отрезка .
Алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции y=f(x) на отрезке :
1) Найти f"(x).
2) Найти точки, в которых f"(x)=0 или f"(x) - не существует, и отобрать из них те, которые лежат внутри отрезка .
3) Вычислите значение функции y=f(x) в точках, полученных в п.2), а так же на концах отрезка и выбрать из них наибольшее и наименьшее: они и являются соответственно наибольшим (у наиб) и наименьшим (у наим) значениями функции на отрезке .
Пример 19. Найти наибольшее значение непрерывной функции y=x 3 -3x 2 -45+225 на отрезке .
1) Имеем y"=3x 2 -6x-45 на отрезке
2) Производная y" существует при всех х. Найдем точки, в которых y"=0; получим:
3x 2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
x 1 =-3; x 2 =5
3) Вычислим значение функции в точках x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
Отрезку принадлежит лишь точка x=5. Наибольшим из найденных значений функции является 225, а наименьшим – число 50. Итак, у наиб =225, у наим =50.
Исследование функции на выпуклости
На рисунке изображены графики двух функций. Первый из них обращен выпуклостью вверх, второй – выпуклостью вниз.
Функция y=f(x) непрерывна на отрезке и дифференцируема в интервале (а;b), называется выпуклой вверх (вниз) на этом отрезке, если при axb ее график лежит не выше (не ниже) касательной, проведенной в любой точке M 0 (x 0 ;f(x 0)), где axb.
Теорема 4. Пусть функция y=f(x) имеет вторую производную в любой внутренней точке х отрезка и непрерывна на концах этого отрезка. Тогда если на интервале (а;b) выполняется неравенство f""(x)0, то функция выпукла вниз на отрезке ; если на интервале (а;b) выполняется неравенство f""(x)0, то функция выпукла вверх на .
Теорема 5. Если функция y=f(x) имеет вторую производную на интервале (а;b) и если она меняет знак при переходе через точку x 0 , тогда M(x 0 ;f(x 0)) есть точка перегиба.
Правило нахождения точек перегиба:
1) Найти точки, в которых f""(x) не существует или обращается в нуль.
2) Исследовать знак f""(x) слева и справа от каждой найденной на первом шаге точки.
3) На основании теоремы 4 сделать вывод.
Пример 20. Найти точки экстремума и точки перегиба графика функции y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12.
Имеем f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2 . Очевидно, что f"(x)=0 при x 1 =0, x 2 =1. Производная при переходе через точку x=0 меняет знак с минуса на плюс, а при переходе через точку x=1 не меняет знака. Значит, x=0 - точка минимума (у min =12), а в точке x=1 экстремума нет. Далее, находим 
. Вторая производная обращается в нуль в точках x 1 =1, x 2 =1/3. Знаки второй производной изменяются следующим образом: На луче (-∞;) имеем f""(x)>0, на интервале (;1) имеем f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Следовательно, x= - точка перегиба графика функции (переход с выпуклости вниз на выпуклость вверх) и x=1 - так же точка перегиба (переход с выпуклости вверх на выпуклость вниз). Если x=, то y= ; если, то x=1, y=13.
Алгоритм отыскания асимптоты графика
I. Если y=f(x) при x → a , то x=a - есть вертикальная асимптота.
II. Если y=f(x) при x → ∞ или x → -∞ , тогда у=А - горизонтальная асимптота.
III. Для нахождения наклонной асимптоты используем следующий алгоритм:
1) Вычислить . Если предел существует и равен b, то y=b - горизонтальная асимптота; если , то перейти ко второму шагу.
2) Вычислить . Если этот предел не существует, то асимптоты нет; если он существует и равен k, то перейти к третьему шагу.
3) Вычислить . Если этот предел не существует, то асимптоты нет; если он существует и равен b, то перейти к четвертому шагу.
4) Записать уравнение наклонной асимптоты y=kx+b.
Пример 21: Найти асимптоту для функции 
1) 
2)
3)
4) Уравнение наклонной асимптоты имеет вид
Схема исследования функции и построение ее графика
I. Найти область определения функции.
II. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.
III. Найти асимптоты.
IV. Найти точки возможного экстремума.
V. Найти критические точки.
VI. С помощью вспомогательного рисунка исследовать знак первой и второй производных. Определить участки возрастания и убывания функции, найти направление выпуклости графика, точки экстремумов и точек перегиба.
VII. Построить график, учитывая исследование, проведенное в п.1-6.
Пример 22: Построить по изложенной выше схеме график функции
Решение.
I. Областью определения функции является множество всех вещественных чисел, кроме x=1.
II. Так уравнение x 2 +1=0 не имеет вещественных корней, то график функции не имеет точек пересечения с осью Ох, но пересекает ось Оу в точке (0;-1).
III. Выясним вопрос о существовании асимптот. Исследуем поведение функции вблизи точки разрыва x=1. Так как y → ∞ при х → -∞, у → +∞ при х → 1+, то прямая x=1 является вертикальной асимптотой графика функции.
Если х → +∞(x → -∞), то у → +∞(y → -∞); следовательно, горизонтальной асимптоты у графика нет. Далее, из существования пределов
Решая уравнение x 2 -2x-1=0 получаем две точки возможного экстремума:
x 1 =1-√2 и x 2 =1+√2
V. Для нахождения критических точек вычислим вторую производную:
Так как f""(x) в нуль не обращается, то критических точек нет.
VI. Исследуем знак первой и второй производных. Точки возможного экстремума, подлежащие рассмотрению: x 1 =1-√2 и x 2 =1+√2, разделяют область существования функции на интервалы (-∞;1-√2),(1-√2;1+√2) и (1+√2;+∞).
В каждом из этих интервалов производная сохраняет знак: в первом – плюс, во втором – минус, в третьем – плюс. Последовательность знаков первой производной запишется так: +,-,+.
Получаем, что функция на (-∞;1-√2) возрастает, на (1-√2;1+√2) убывает, а на (1+√2;+∞) снова возрастает. Точки экстремума: максимум при x=1-√2, причем f(1-√2)=2-2√2 минимум при x=1+√2, причем f(1+√2)=2+2√2. На (-∞;1) график направлен выпуклостью вверх, а на (1;+∞) - вниз.
VII Составим таблицу полученных значений
VIII По полученным данным строим эскиз графика функции 
Инструкция
Найдите область определения функции. Например, функция sin(x) определена на всем интервале от -∞ до +∞, а функция 1/x - от -∞ до +∞ за исключением точки x = 0.
Определите области непрерывности и точки разрыва. Обычно функция непрерывна в той же самой области, где она определена. Чтобы обнаружить разрывы, нужно вычислить при приближении аргумента к изолированным точкам внутри области определения. Например, функция 1/x стремится к бесконечности, когда x→0+, и к минус бесконечности, когда x→0-. Это значит, что в точке x = 0 она имеет разрыв второго рода.
Если пределы в точке разрыва конечны, но не равны, то это разрыв первого рода. Если же они равны, то функция считается непрерывной, хотя в изолированной точке она и не определена.
Найдите вертикальные асимптоты, если они есть. Здесь вам помогут вычисления предыдущего шага, поскольку вертикальная асимптота практически всегда находится в точке разрыва второго рода. Однако иногда из области определения исключены не отдельные точки, а целые интервалы точек, и тогда вертикальные асимптоты могут располагаться на краях этих интервалов.
Проверьте, обладает ли функция особыми свойствами: четностью, нечетностью и периодичностью.
Функция будет четной, если для любого x в области определения f(x) = f(-x). Например, cos(x) и x^2 - четные функции.
Периодичность - свойство, говорящее о том, что есть некое число T, называемое периодом, что для любого x f(x) = f(x + T). Например, все основные тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс) - периодические.
Найдите точки . Для этого вычислите производную от заданной функции и найдите те значения x, где она обращается в ноль. Например, функция f(x) = x^3 + 9x^2 -15 имеет производную g(x) = 3x^2 + 18x, которая обращается в ноль при x = 0 и x = -6.
Чтобы определить, какие точки экстремума являются максимумами, а какие минимумами, отследите изменение знаков производной в найденных нулях. g(x) меняет знак с плюса в точке x = -6, а в точке x = 0 обратно с минуса на плюс. Следовательно, функция f(x) в первой точке имеет , а во второй - минимум.
Таким образом, вы нашли и области монотонности: f(x) монотонно возрастает на промежутке -∞;-6, монотонно убывает на -6;0 и снова возрастает на 0;+∞.
Найдите вторую производную. Ее корни покажут, где график заданной функции будет выпуклым, а где - вогнутым. Например, второй производной от функции f(x) будет h(x) = 6x + 18. Она обращается в ноль при x = -3, меняя при этом знак с минуса на плюс. Следовательно, график f(x) до этой точки будет выпуклым, после нее - вогнутым, а сама эта точка будет точкой перегиба.
У функции могут быть и другие асимптоты, кроме вертикальных, но только в том случае, если в ее область определения входит . Чтобы их найти, вычислите предел f(x), когда x→∞ или x→-∞. Если он конечен, то вы нашли горизонтальную асимптоту.
Наклонная асимптота - прямая вида kx + b. Чтобы найти k, вычислите предел f(x)/x при x→∞. Чтобы найти b - предел (f(x) – kx) при том же x→∞.
