Идея экономического прогнозирования базируется на предположении, что закономерность развития, действовавшая в прошлом (внутри ряда экономической динамики), сохранится ив прогнозируемом будущем. В этом смысле прогноз основан на экстраполяции. Экстраполяция, проводимая в будущее, называется перспективной, а в прошлое - ретроспективной.
Прогнозирование методом экстраполяции базируется на следующих предположениях:
- а) развитие исследуемого явления в целом описывается плавной кривой;
- б) общая тенденция развития явления в прошлом и настоящем не указывает на серьезные изменения в будущем;
- в) учет случайности позволяет оценить вероятность отклонения от закономерного развития.
Надежность и точность прогноза зависят от того, насколько близкими к действительности окажутся эти предположения и насколько точно удалось охарактеризовать выявленную в прошлом закономерность.
На основе построенной модели рассчитываются точечные и интервальные прогнозы.
Точечный прогноз для временных моделей получается подстановкой в модель (уравнение тренда) соответствующего значения фактора времени, т.е. t= п + 1, п + 2,..., п + к, где к - период упреждения.
Точное совпадение фактических данных и прогностических точечных оценок, полученных путем экстраполяции, имеет малую вероятность. Возникновение соответствующих отклонений объясняется следующими причинами:
- 1) выбранная для прогнозирования кривая не является единственно возможной для описания тенденции. Можно подобрать такую кривую, которая дает более точные результаты;
- 2) прогноз осуществляется на основании ограниченного числа исходных данных. Кроме того, каждый исходный уровень обладает еще и случайной компонентой; поэтому и кривая, по которой осуществляется экстраполяция, также будет содержать случайную компоненту;
- 3) тенденция характеризует движение среднего уровня ряда динамики, поэтому отдельные наблюдения могут от него отклоняться. Если такие отклонения наблюдались в прошлом, то они будут наблюдаться и в будущем.
Интервальные прогнозы строятся на основе точечных прогнозов. Доверительным интервалом называется такой интервал, относительно которого можно с заранее выбранной вероятностью утверждать, что он содержит значение прогнозируемого показателя. Ширина интервала зависит от качества модели (т.е. степени ее близости к фактическим данным), числа наблюдений, горизонта прогнозирования, выбранного пользователем уровня вероятности и других факторов.
При построении доверительного интервала прогноза рассчитывается величина U(k), которая для линейной модели имеет вид
где о е - стандартная ошибка (среднеквадратическое отклонение от линии тренда); п-р - число степеней свободы (для линейной модели у = a Q + a { t количество параметров р = 2).
Коэффициент / является табличным значением ^-статистики Стьюдента при заданном уровне значимости и числе наблюдений. (Примечание. Табличное значение t можно получить с помощью функции Excel стьюдраспобр.)
Для других моделей величина Щк) рассчитывается аналогичным образом, но имеет более громоздкий вид. Как видно из формулы (3.5.21), величина U(k) зависит прямо пропорционально от точности модели коэффициента доверительной вероятности / , степени углубления в будущее на к шагов вперед, т.е. на момент t=п + к, и обратно пропорциональна объему наблюдений.
Доверительный интервал прогноза будет иметь следующие границы:
Если построенная модель адекватна, то с выбранной пользователем вероятностью можно утверждать, что при сохранении сложившихся закономерностей развития прогнозируемая величина попадает в интервал, образованный верхней и нижней границами.
После получения прогнозных оценок необходимо убедиться в их разумности и непротиворечивости оценкам, полученным иным способом.
Пример 3.5.4. Финансовый директор АО «Веста» рассматривает целесообразность ежемесячного финансирования инвестиционного проекта со следующими объемами нетто-платежей, тыс. руб.:
- 1. Определить линейную модель зависимости объемов платежей от сроков (времени).
- 2. Оценить качество (т.е. адекватность и точность) построенной модели на основе исследования:
- а) случайности остаточной компоненты по критерию «пиков»;
- б) независимости уровней ряда остатков по ^w-критерию (в качестве критических значений использовать уровни d x = 1,08 и d 2 = 1,36) и по первому коэффициенту автокорреляции, критический уровень которого г(1) = 0,36;
- в) нормальности распределения остаточной компоненты по /^-критерию с критическими уровнями 2,7-3,7;
- г) средней по модулю относительной ошибки.
- 3. Определить размеры платежей на три последующих месяца (построить точечный и интервальный прогнозы на три шага вперед (при уровне значимости 0,1), отобразить на графике фактические данные, результаты расчетов и прогнозирования).
Оценить целесообразность финансирования этого проекта, если в следующем квартале на эти цели фирма может выделить только 120 тыс. руб.
- 1. Построение модели
- 1) Оценка параметров модели с помощью надстройки Excel Анализ данных. Построим линейную модель регрессии Y
от /. Для проведения регрессионного анализа выполните следующие действия:
- ? Выберите команду Сервис => Анализ данных.
- ? В диалоговом окне Анализ данных выберите инструмент Регрессия, а затем нажмите кнопку ок.
- ? В диалоговом окне Регрессия в поле Входной интервал У введите адрес одного диапазона ячеек, который представляет зависимую переменную. В поле Входной интервал X введите адрес диапазона, который содержит значения независимой переменной t. Если выделены и заголовки столбцов, установите флажок Метки в первой строке.
- ? Выберите параметры вывода (в данном примере - Новая рабочая книга).
- ? В поле График подбора поставьте флажок.
- ? В поле Остатки поставьте необходимые флажки и нажмите кнопку ОК.
Результат регрессионного анализа будет получен в виде, приведенном на рис. 3.5.11 и 3.5.12.
Рис. 3.5.11.
Второй столбец на рис. 3.5.11 содержит коэффициенты уравнения регрессии а 0 , a v
Кривая роста зависимости объемов платежей от сроков (времени) имеет вид
2) Оценка параметров модели «вручную». В табл. 3.5.8 приведены промежуточные расчеты параметров линейной модели по формулам (3.5.16). В результате расчетов получаем те же значения:
Рис. 3.5.12.
Таблица 3.5.8
|
y t |
(t-T)(y,-y) |
у, =a 0 + a x t |
|||||
Иногда для проверки расчетов полезно проверить введенные формулы. Для этого следует выбрать команду Сервис => Параметры и поставить флажок в окне формулы (рис. 3.5.13).
Рис. 3.5.13.
После этого на листе Excel расчетные значения будут заменены соответствующими формулами и функциями (табл. 3.5.9).
- 2. Оценка качества модели
- 1) Для оценки адекватности построенных моделей исследуются свойства остаточной компоненты, т.е. расхождения уровней, рассчитанных по модели, и фактических наблюдений (табл. 3.5.10).
При проверке независимости
(отсутствияавтокорреляции) определяется отсутствие в ряде остатков систематической составляющей, например, с помощью ^w-критерия Дарбина - Уотсона по формуле (3.4.8):
|
0t-T)(y t -y ) |
9t= а о + a x t |
|||||||
|
=$С$18 + $С$16*А2 |
||||||||
|
=(АЗ - $А$14) |
=(ВЗ - $В$14) |
=$С$18 + $С$16*АЗ |
||||||
|
=$С$18 + $С$16*А4 |
||||||||
|
=$С$18 + $С$16*А5 |
||||||||
|
=$С$18 + $С$16*А6 |
||||||||
|
=$С$18 + $С$16*А7 |
||||||||
|
=$С$18 + $С$16*А8 |
||||||||
|
=$С$18 + $С$16*А9 |
||||||||
|
=(А10 - $А$14) |
=(В10 - $В$14) |
=$С$18 + $С$16*А10 |
||||||
|
=$С$18 + $С$16*А11 |
||||||||
|
=(А12 - $А$14) |
=(В12 - $В$14) |
=$С$18 + $С$16*А12 |
||||||
|
=$С$18 + $С$16*А13 |
||||||||
|
СРЗНАЧ(Е2:Е13) |
||||||||
|
Номер наблюдения |
Точки поворота |
е] |
( е Г е,-) 2 |
|
Так как dw" = 1,88 попало в интервал от d 2 до 2, то по данному критерию можно сделать вывод о выполнении свойства независимости (см. табл. 3.4.1). Это означает, что в ряде динамики не имеется автокорреляции, следовательно, модель по этому критерию адекватна.
Проверку случайности уровней ряда остатков проведем на основе критерия поворотных точек [см. формулу (3.5.18)]. Количество поворотных точекр при п = 12 равно 5 (рис. 3.5.14):
Неравенство выполняется (5 > 4). Следовательно, свойство случайности выполняется. Модель по этому критерию адекватна.
Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения определим с помощью критерия:
где максимальный уровень ряда остатков е тах =
4,962, минимальный уровень ряда остатков e min =
-5,283 (см. табл. 3.5.10), а среднеквадратическое отклонение
Рис. 3.5.14.
Получаем
Расчетное значение попадает в интервал (2,7-3,7), следовательно, выполняется свойство нормальности распределения. Модель по этому критерию адекватна.
Проверка равенства нулю математического ожидания уровней ряда остатков. В нашем случае ё = 0, поэтому гипотеза о равенстве математического ожидания значений остаточного ряда нулю выполняется.
Данные анализа ряда остатков приведены в табл. 3.5.11.
2) Для оценки точности модели вычислим среднюю относительную ошибку аппроксимации Е оти (табл. 3.5.12).
Получаем
Вывод:
- хороший уровень точности модели.
|
Проверяемое свойство |
Используемая статистика |
Граница |
Вывод |
||
|
Наименова |
Значение |
верх |
|||
|
Независимость |
^-критерий Дарбина - Уотсона |
dw = 2,12 dw" = 4-2,12 = = 1,88 |
Адекватна |
||
|
Случайность |
Критерий (поворотных |
Адекватна |
|||
|
Нормальность |
/^-критерий |
Адекватна |
|||
|
Среднее е,= 0 |
/-статистика Стьюдента |
Адекватна |
|||
|
Вывод: модель статистически адекватна |
|||||
Таблица 3.5.12
|
Номер наблю дения |
Номер наблю дения |
||||||
3. Построение точечного и интервального прогнозов на три шага вперед
Для вычисления точечного прогноза в построенную модель подставляем соответствующие значения фактора t = n + к:
Для построения интервального прогноза рассчитаем доверительный интервал. При уровне значимости а = 0,1 доверительная вероятность равна 90%, а критерий Стьюдента при v = п - 2 = 10 равен 1,812. Ширину доверительного интервала вычислим по формуле (3.5.21):
где
(можно взять из протокола регрессионного анализа), / = 1,812 (табличное значение можно получить в Excel с помощью функции стьюдраспобр), Т
= 6,5,
(находим из табл. 3.5.8);
Таблица 3.5.13
|
Прогноз |
Верхняя граница |
Нижняя граница |
||
|
U( 1) = 6,80 |
||||
|
Щ2) = 7,04 |
||||
Ответ. Модель имеет вид Y(t) = 38,23 + 1,81/. Размеры платежей составят 61,77; 63,58; 65,40 тыс. руб. Следовательно, денежных средств в объеме 120 тыс. руб. на финансирование этого инвеста-
Рис. 3.5.15.
ционного проекта на три последующих месяца будет недостаточно, поэтому нужно либо изыскать дополнительные средства, либо отказаться от этого проекта.
Если при анализе развития объекта прогноза есть основания принять два базовых допущения экстраполяции, то процесс экстраполяции заключается в подстановке соответствующей величины периода упреждения в формулу, описывающую тренд. Причем, если по каким-либо соображениям при экстраполяции удобнее начало отсчета времени установить на момент, отличающийся от начального момента, принятого при оценивании параметров уравнения, то для этого в соответствующем многочлене достаточно изменить постоянный член. Так в уравнении прямой при сдвиге начала отсчета времени на т лет вперед постоянный член будет равен a + bm, для параболы второй степени он составит величину а + bт + ст2.
Экстраполяция, вообще говоря, дает точечную прогностическую оценку. Интуитивно ощущается недостаточность такой оценки и необходимость получения интервальной оценки с тем, чтобы прогноз, охватывая некоторый интервал значений прогнозируемой переменной, был бы более надежным. Как уже сказано выше, точное совпадение фактических данных и прогностических точечных оценок, полученных путем экстраполяции кривых, характеризующих тенденцию, - явления маловероятное. Соответствующая погрешность имеет следующие источники: выбор формы кривой, характеризующей тренд, содержит элемент субъективизма. Во всяком случае, часто нет твердой основы для того, чтобы утверждать, что выбранная форма кривой является единственно возможной или тем более наилучшей для экстраполяции в данных конкретных условиях;
- 1. оценивание параметров кривых (иначе говоря, оценивание тренда) производится на основе ограниченной совокупности наблюдений, каждое из которых содержит случайную компоненту. В силу этого параметрам кривой, а, следовательно, и ее положению о пространстве свойственна некоторая неопределенность;
- 2. тренд характеризует некоторый средний уровень ряда, на каждый момент времени. Отдельные наблюдения, как правило, отклонялись от него в прошлом. Естественно ожидать, что подобного рода отклонения будут происходить и в будущем.
Погрешность, связанная со вторым и третьим ее источником, может быть отражена в виде доверительного интервала прогноза при принятии некоторых допущений о свойстве ряда. С помощью такого интервала точечный экстраполяционный прогноз преобразуется в интервальный. Вполне возможны случаи, когда форма кривой, описывающей тенденцию, выбрана неправильно или когда тенденция развития в будущем может существенно изменяться и не следовать тому типу кривой, который был принят при выравнивании. В последнем случае основное допущение экстраполяции не соответствует фактическому положению вещей. Найденная кривая лишь выравнивает динамический ряд и характеризует тенденцию только в пределах периода, охваченного наблюдением. Экстраполяция такого тренда неизбежно приведет к ошибочному результату, причем ошибку такого рода нельзя оценить заранее. В связи с этим можно лишь отметить то, что, по-видимому, следует ожидать рост такой погрешности (или вероятности ее возникновения) при увеличении периода упреждения прогноза. Одна из основных задач, возникающих при экстраполяции тренда, заключается в определении доверительных интервалов прогноза. Интуитивно понятно, что в основу расчета доверительного интервала прогноза должен быть положен измеритель колеблемости ряда наблюдаемых значений признака. Чем выше эта колеблемость, тем менее определенно положение тренда в пространстве "уровень - время" и тем шире должен быть интервал для вариантов прогноза при одной и той же степени доверия. Следовательно, вопрос о доверительном интервале прогноза следует начать с рассмотрения измерителя колеблемости. Обычно такой измеритель определяют в виде среднего квадратического отклонения (стандартного отклонения) фактических наблюдений от расчетных, полученных при выравнивании динамического ряда. В общем виде среднее квадратическое отклонение от тренда можно выразить как:
В общем виде доверительный интервал для тренда определяется как:
Если t = i + L, то уравнение определит значение доверительного интервала для тренда, продленного на L единиц времени. Доверительный интервал для прогноза, очевидно должен учитывать не только неопределенность, связанную с положением тренда, но возможность отклонения от этого тренда. В практике встречаются случаи, когда более или менее обоснованно для экстраполяции можно применить несколько типов кривых. При этом рассуждения иногда сводятся к следующему. Поскольку каждая из кривых характеризует один из альтернативных трендов, то очевидно, что пространство между экстраполируемыми трендами представляет собой некоторую естественную доверительную область для прогнозируемой величины. С таким утверждением нельзя согласиться.
Прежде всего потому, что каждая на возможных линий тренда отвечает некоторой заранее принятой гипотезе развития. Пространство же между трендами не связано ни с одной из них - через него можно провести неограниченное число трендов. Следует также добавить, что доверительный интервал связан с некоторым уровнем вероятности выхода за его границы. Пространство между трендами не связано ни с каким уровнем вероятности, а зависит от выбора типов кривых. К тому же при достаточно продолжительном периоде упреждения это пространство, как правило, становится настолько значительным, что подобный доверительный интервал теряет всякий смысл.
Рисунок 2 - Поиск максимального интервала корреляции
Анимация: Кадров: 20, Количество повторений: 7, Объем: 55,9 Кб
Для сравнения качества решения задач прогнозирования при традиционном и предлагаемом подходе используются доверительные интервалы прогноза для линейного тренда. В качестве примера анализа влияния качественных характеристик временных рядов на глубину прогноза были взяты три временных ряда размерностью n равной 30 с различными колеблемостями вокруг тренда. В итоге вычислений значений площади участков кривых выборочных автокорреляционных функций получились следующие оценки для оптимальной глубины прогноза: для слабоколеблемого ряда - 9 уровней, для среднеколеблемого - 3 уровня, для сильноколеблемого - 1 уровень (Рисунок
Рисунок 3 - Полученные результаты оценки глубины прогноза
Анализ результатов показывает, что даже при средней колеблемости значений ряда вокруг тренда доверительный интервал оказывается весьма широким (при доверительной вероятности 90%) для периода упреждения, превышающего расчетный предлагаемым способом. Уже для упреждения на 4 уровня доверительный интервал составил почти 25% расчетного уровня. Довольно быстро экстраполяция приводит к неопределенным в статистическом смысле результатам. Это доказывает возможность применения предложенного подхода.
Поскольку выше расчет проводился основываясь на оценках величин, представляется возможным построить зависимость оценки глубины экономического прогноза от значений его базы, задав значения временного лага k и соответствующие им значения глубины экономического прогноза.
Таким образом, предложенный новый подход к оценке глубины экономического прогноза синтезирует количественную и качественную характеристики исходных значений динамического ряда и позволяет обоснованно с математической точки зрения задавать период упреждения для экстраполируемых временных рядов.
прогноз экстраполяция стратегическое планирование
Один из наиболее распространенных методов прогнозирования заключается в экстраполяции, т.е. в предсказании будущего на основе данных прошлого.
Экстраполяция базируется на следующих допущениях:
§ развитие явления может быть с достаточным основанием охарактеризовано плавной траекторией - трендом;
§ общие условия, определяющие тенденцию развития в прошлом, не претерпят существенных изменений в будущем.
Таким образом, экстраполяция дает описание некоторого общего будущего развития объекта прогнозирования. Причем если развитие в прошлом носило перманентно скачкообразный характер, то при достаточно продолжительном периоде наблюдений скачки оказываются «зафиксированными» в самом тренде, и последний опять-таки можно применить в прогнозировании.
Проведем прогнозирование на основе экстраполяции лучшей формы тренда (линейной) для экспорта за период 2001-2007 гг:
Напомним, что у текущей переменной 7 уровней ряда, обозначенных натуральными числами. Соответственно прогноз динамики экспорта в 2008 (t=8) составит:
(млрд. долл)
Проведем прогнозирование на основе экстраполяции лучшей формы тренда (линейной) для импорта за период 2001-2007 гг:
Напомним, что у текущей переменной 7 уровней ряда, обозначенных натуральными числами. Соответственно прогноз динамики импорта в 2008 (t=8) составит:
(млрд. долл)
Экстраполяция дает возможность получить точечное значение прогноза, что может быть признано удовлетворительным только при наличии функциональной зависимости. Однако для экономических явлений характерна корреляционная зависимость и переменные, как правило, являются непрерывными. Следовательно, указание точечных значений прогноза, строго говоря, лишено содержания. Отсюда следует, что прогноз должен быть дан в виде интервала значений, т.е. необходимо определение доверительного интервала прогноза.
Доверительные интервалы прогноза
При составлении прогноза погрешность имеет следующие источники:
§ выбор формы кривой, характеризующей тренд, содержит элемент субъективизма. Во всяком случае, часто нет твердой основы для того, чтобы утверждать, что выбранная форма кривой является единственно возможной, а тем более лучшей для экстраполяции в данных конкретных условиях;
§ оценивание параметров кривых (иначе говоря, оценивание тренда) производится на основе ограниченной совокупности наблюдений, каждое из которых содержит случайную компоненту. В силу этого параметрам кривой, а, следовательно, и ее положению в пространстве свойственна некоторая неопределенность;
§ тренд характеризует средний уровень ряда на каждый момент времени. Отдельные наблюдения, как правило, отклонялись от него в прошлом.
Естественно ожидать, что подобного рода отклонения будут происходить и в будущем.
Вполне возможны случаи, когда форма кривой, описывающей тенденцию, выбрана неправильно или когда тенденция развития в будущем может существенно измениться и не следовать тому типу кривой, который был принят при выравнивании. В последнем случае основное допущение экстраполяции не соответствует фактическому положению вещей. Найденная кривая лишь выравнивает динамический ряд и характеризует тенденцию только в пределах периода, охваченного наблюдением. Экстраполяция такого тренда неизбежно приведет к ошибочному результату, причем ошибку такого рода нельзя оценить заранее. В связи с этим можно лишь отметить то, что, по-видимому, следует ожидать рост такой погрешности (или вероятности ее возникновения) при увеличении периода упреждения.
Погрешность, связанная со вторым и третьим источниками, может быть отражена в виде доверительного интервала прогноза при принятии некоторых допущений о свойстве ряда. С помощью такого интервала точечный прогноз преобразуется в интервальный.
Во всяком случае, смещение периода наблюдения только на один шаг или добавление, или устранение членов ряда в силу того, что каждый член ряда содержит случайную компоненту, приводит к изменению численных оценок параметров. Отсюда расчетные значения несут на себе груз неопределенности, связанной с ошибками в значении параметров.
В общем виде доверительный интервал для тренда определяется как:
где - средняя квадратическая ошибка тренда;
Расчетное значение y t ;
Значение t-статистики Стьюдента.
В STATISTICA при расчете доверительных интервалов прогноза величину среднего квадратического отклонения S y можно определить, воспользовавшись таблицей дисперсионного анализа. Рассчитанное в ячейке Residual Mean Squares значение соответствует подкоренному выражению в формуле для S y , то есть остаточной дисперсии. Остается только извлечь из него квадратный корень.
Для экспорта (см. таблицу 77), для импорта (см. таблицу 80).
Значит, для экспорта S y = 18,11,для импорта S y = 25,45.
Значение коэффициента доверия t находим по таблице Стьюдента с учетом доверительной вероятности 95%. При использовании линейной и степенной функций число степеней свободы равно 4, соответственно значение критерия равно 2,776.
Таким образом, доверительный интервал прогноза для экспорта на 2008 год определяется как:
Этот прогноз можно интерпретировать следующим образом: количество экспорта Японии в 2008 году с вероятностью 95% будет составлять от 704,542 млрд. долл. до 805,089 млрд. долл.
Доверительный интервал прогноза для импорта на 2008 год определяется как:
Этот прогноз можно интерпретировать следующим образом: количество импорта Японии в 2008 году с вероятностью 95% будет составлять от 596,072 млрд. долл. до 737,371 млрд. долл.
Графическое представление результатов прогнозирования
Завершающим этапом прогнозирования является построение графических изображений, дающих представление о точности прогноза и наглядно демонстрирующих размах доверительных интервалов.
Таблица 89. Данные прогнозирования для экспорта
Рис. 63.
Таблица 90. Данные прогнозирования для экспорта
Рис. 64.
К сожалению, в нашем случае реальные значения вышли за пределы доверительного интервала прогноза, что лишний раз подчёркивает трудности выбора модели тренда.
Экстраполяция на основе среднего темпа роста и среднего абсолютного прироста
В данном пункте рассмотрим прогнозирование на основе среднего темпа роста. Значения будущих периодов получают, руководствуясь формулой:
где - средний темп роста; - уровень, принятый за базу для экстраполяции.
Средний темп роста определяется как:
где y n - данные за последний год периода, а y 1 - данные по первому году в рассматриваемом периоде.
Рассчитаем для экспорта:
Доверительный интервал:
Таблица 91. Расчеты по формуле, средний темп роста для экспорта Японии
Одна из основных задач, возникающих при экстраполяции тренда, заключается в определении доверительных интервалов прогноза. Интуитивно понятно, что в основу расчета доверительного интервала прогноза должен быть положен измеритель колеблемости ряда наблюдаемых значений признака. Чем выше эта колеблемость, тем менее определенно положение тренда в пространстве “уровень -- время” и тем шире должен быть интервал для вариантов прогноза при одной и той же степени доверия. Следовательно, при построении доверительного интервала прогноза следует учесть оценку колеблемости или вариации уровней ряда. Обычно такой оценкой является среднее квадратическое отклонение (стандартное отклонение) фактических наблюдений от расчетных, полученных при выравнивании динамического ряда.
Прежде чем приступить к определению доверительного интервала прогноза, необходимо сделать оговорку о некоторой условности рассматриваемого ниже расчета. То, что следует далее, является в некоторой мере произвольным перенесением результатов, найденных для регрессии выборочных показателей, на анализ динамических рядов. Дело в том, что предположение регрессионного анализа о нормальности распределения отклонений вокруг линии регрессии не может, по существу, безоговорочно утверждаться при анализе динамических рядов.
Полученные в ходе статистического оценивания параметры не свободны от погрешности, связанной с тем, что объем информации, на основе которой производилось оценивание, ограничен, и в некотором смысле эту информацию можно рассматривать как выборку. Во всяком случае смещение периода наблюдения только на один шаг или добавление, или устранение членов ряда в силу того, что каждый член ряда содержит случайную компоненту, приводит к изменению численных оценок параметров. Отсюда расчетные значения несут на себе груз неопределенности, связанной с ошибками в значении параметров.
В общем виде доверительный интервал для тренда определяется как
- ? расчетное значение yt;
Если t = i + L то уравнение определит значение доверительного интервала для тренда, продленного на L единиц времени.
Доверительный интервал для прогноза, очевидно, должен учитывать не только неопределенность, связанную с положением тренда, но возможность отклонения от этого тренда. В практике встречаются случаи, когда более или менее обоснованно для экстраполяции можно применить несколько типов кривых. При этом рассуждения иногда сводятся к следующему. Поскольку каждая из кривых характеризует один из альтернативных трендов, то очевидно, что пространство между экстраполируемыми трендами и представляет собой некоторую “естественную доверительную область” для прогнозируемой величины. С таким утверждением нельзя согласиться. Прежде всего потому, что каждая из возможных линий тренда отвечает некоторой заранее принятой гипотезе развития. Пространство же между трендами не связано ни с одной из них -- через него можно провести неограниченное число трендов. Следует также добавить, что доверительный интервал связан с некоторым уровнем вероятности выхода за его границы. Пространство между трендами не связано ни с каким уровнем вероятности, а зависит от выбора типов кривых. К тому же при достаточно продолжительном периоде упреждения это пространство, как правило, становится настолько значительным, что подобный “доверительный интервал” теряет всякий смысл.
При условии учета стандартных ошибок оценок параметров уравнения тренда (которые по определению являются выборочными, а следовательно, могут не являться оценками неизвестных генеральных параметров из-за проявления случайной ошибки репрезентативности), и не рассматривая последовательность преобразований получим общую формулу доверительного интервала прогноза.
где - значение прогноза, рассчитанного по уравнению тренда на период t+L
Средняя квадратическая ошибка тренда;
К - коэффициент, учитывающий ошибки коэффициентов уравнения тренда
Значение t-статистики Стьюдента.
Коэффициент К рассчитывается следующим образом
n ? число наблюдений (длина ряда динамики);
L - число прогнозов
Значение К зависит только от п и L, т. е. продолжительности наблюдения и периода прогнозирования.
Получение оценок коэффициентов регрессии и проверка их достоверности не являются самоцелью, это лишь необходимый промежуточный этап. Основное – это использовать модель для анализа и прогноза значений изучаемого экономического явления. Прогноз осуществляется подстановкой значения фактора х в полученную формулу регрессии.
Используем полученное в примере 1.1 (прил.4) уравнение регрессии для прогноза объема товарооборота. Если намечается открыть магазин с численностью работников х =140 чел., то обоснованный объем товарооборота устанавливается по уравнению ŷ (х )= –0,974 + 0,01924×140=1,72 млрд. рублей.
Доверительный интервал для прогноза значения у (х )=a 0 +a 1 х определяется по формуле
где t p – критическая граница распределения Стьюдента с n – 2 степенями свободы, соответствующая уровню значимости р . Для получения доверительного интервала воспользуемся выражением (2.2).
Выберем уровень значимости 5%. Количество степеней свободы у нас 8 – 2 = 6, тогда по таблице распределения Стьюдента (приложение 1) находим
t 0.05 (6)=2,447.s= =0,089,
следовательно, с вероятностью 95% истинные значения объемов товарооборота будут лежать в пределах
1,72 – 2,447×0,048<y (x )<1,72+2,447×0,048, или 1,60<y (x )<1,84.
2.8. Практический блок
Пример. Построить уравнение регрессии между заданными переменными, проверить её адекватность, сделать прогноз методом экстраполяции.
1 . Построить диаграмму рассеяния в EXCELи сделать заключение о наличии корреляции.
Таблица 2.6Диаграмма 2.1
| Y | x |
| 29,5 | 2,1 |
| 34,2 | 2,9 |
| 30,6 | 3,3 |
| 35,2 | 3,8 |
| 40,7 | 4,2 |
| 44,5 | 3,9 |
| 47,2 | 5,0 |
| 55,2 | 4,9 |
| 51,8 | 6,3 |
| 56,7 | 5,8 |
Из диаграммы 2.1 видно, что между переменнымиx и y имеется сильная линейная связь .
Таблица2.7
| № | xy | 
|  |
|||||
| 29,5 | 2,1 | 61,95 | 4,41 | 870,25 | 27,91 | 0,054 | 1,59 | |
| 34,2 | 2,9 | 99,18 | 8,41 | 1169,64 | 33,46 | 0,022 | 0,74 | |
| 30,6 | 3,3 | 100,98 | 10,89 | 936,36 | 36,23 | 0,184 | -5,63 | |
| 35,2 | 3,8 | 133,76 | 14,44 | 1239,04 | 39,69 | 0,128 | -4,49 | |
| 40,7 | 4,2 | 170,94 | 17,64 | 1656,49 | 42,47 | 0,043 | -1,77 | |
| 44,5 | 3,9 | 173,55 | 15,21 | 1980,25 | 40,39 | 0,092 | 4,11 | |
| 47,2 | 5,0 | 2227,84 | 48,01 | 0,017 | -0,81 | |||
| 55,2 | 4,9 | 270,48 | 24,01 | 3047,04 | 47,32 | 0,143 | 7,88 | |
| 51,8 | 6,3 | 326,34 | 39,69 | 2683,24 | 57,02 | 0,101 | -5,22 | |
| 56,7 | 5,8 | 328,86 | 33,64 | 3214,89 | 53,55 | 0,056 | 3,15 | |
| ИТОГО: | 42,2 | 1902,04 | 193,34 | 19025,04 | 0,840 | |||
| Среднее | 42,6 | 4,22 | 190,204 | 19,334 | 1902,504 |
2.1.Теснота связи между переменными:
;
Вывод: сильная связь.
2.2.Проверим по критерию Стьюдента статистическую значимость:
По критерию Стьюдента: t выб <=t кр
Гипотеза Н о: r=0,t кр =2,31,
t выб =r выб *
Так какt выб =5,84
3. Записать систему нормальных уравнений для коэффициентов линейной регрессии. Используя метод наименьших квадратов, рассчитайте эти коэффициенты.
Подставляя в найденное уравнение регрессии значения (графа (3) табл.2.7), рассчитаем значения (графа (7) табл.2.7).
4. Для полученного уравнения регрессии между Х и У рассчитать среднюю ошибку аппроксимации. Сделать заключение об адекватности полученной модели.
Заполним 8-ю и 9-ю графу табл.2.7.
<Екр=12%
Модель признается удовлетворительной.
5 . Проверить значимость коэффициента a 1 уравнения регрессии, используя критерий Стьюдента.
Решение: Таблица 2.8
| № | 
|  |  |
|||
| 29,5 | 2,1 | 27,91 | 214,623 | 2,5281 | 170,564 | |
| 34,2 | 2,9 | 33,46 | 82,81 | 0,5476 | 69,8896 | |
| 30,6 | 3,3 | 36,23 | 40,069 | 31,6969 | 143,0416 | |
| 35,2 | 3,8 | 39,69 | 8,237 | 20,1601 | 54,1696 | |
| 40,7 | 4,2 | 42,47 | 0,008 | 3,1329 | 3,46 | |
| 44,5 | 3,9 | 40,39 | 4,709 | 16,8921 | 3,7636 | |
| 47,2 | 48,01 | 29,703 | 0,6561 | 21,5296 | ||
| 55,2 | 4,9 | 47,32 | 22,658 | 62,0944 | 159,7696 | |
| 51,8 | 6,3 | 57,02 | 209,092 | 27,2484 | 85,3776 | |
| 56,7 | 5,8 | 53,55 | 120,78 | 9,9225 | 199,9396 | |
| ИТОГО: | 425,6 | 42,2 | 426,1 | 732,687 | 174,8791 | 911,504 |
| Среднее | 42,56 | 4,22 |
Статистическая проверка:
Выводы: С доверительной вероятностью 0.9 коэффициент a 1 является статистически значимым, таким образом, гипотеза отвергается.
6. Проверить адекватность уравнения регрессии в целом, применив F-критерий Фишера-Снедекора.
Статистическая проверка:
:модель не адекватна
Так какF выб >F кр, то отвергается гипотеза (принимается альтернативная)с доверительной вероятностью 0.95. Данная модель адекватна и может использоваться для прогнозирования при принятии управленческих решений.
(таб. 2.8).
Доля вариации.
Таким образом, 80% вариации объясняемой переменной объясняется включенным в модель фактором, а 20% факторами, не включенными в модель.
Тесноту связи между переменными для произвольной связи показывает эмпирическое корреляционное отношение, при линейной связи , и коэффициент корреляции равен коэффициенту детерминации.
9
. Выполнить точечный прогноз для 
.
Исходные данные,
Точечный прогноз,
Линию регрессии,
90% доверительные интервалы.
Сформулировать общие выводы относительно полученной регрессионной модели.
-математическое ожидание среднего.
Чтобы выполнить интервальный прогноз рассмотрим две области.
а) доверительные границы уравнения регрессии дляy из области значений переменнойx рассчитаем по формуле:
б) для прогнозных значений доверительный интервал для рассчитаем по формуле:
Имеем:n=10, t=2,31(таб. Приложение 1),
19,334-4,22 2)=1,53.
: 27,9; 42,6; 57,0; 66,7
Таблица 2.9
| № | |||||||||||
| 1 | 2,1 | -2,12 | 1,74 | 3,03 | 4,49 | 2,31 | 4,68 | 27,9 | 18,81 | 9,10 | 46,72 |
| 4,22 | 0,00 | 0,32 | 0,1 | 0,00 | 2,31 | 4,68 | 42,6 | 3,46 | 39,10 | 46,02 | |
| 6,3 | 2,08 | 1,71 | 2,93 | 4,33 | 2,31 | 4,68 | 57,0 | 18,49 | 38,53 | 75,51 | |
| 7,7 | 3,48 | 9,02 | 12,11 | 2,31 | 4,68 | 66,7 | 32,43 | 34,29 | 99,15 |
Т.к. 90% точек наблюдения находится в 90% - доверительном интервале, данная модель с ее доверительными границами может использоваться для прогнозирования с доверительной вероятностью 0,9.
Контрольные вопросы
1. Линейные регрессионные модели с гетероскедастичными и автокоррелированными остатками.
2. Виды автокорреляции и их краткая характеристика.
3. Автокорреляция в остатках и порядок её обнаружения.
4. Виды автокорреляции в остатках.
5. Порядок использования критерия Дарбина-Уотсона.
6. Автокорреляция в исходных данных и порядок определения её наличия.
7. Методы устранения влияния автокорреляции на результаты прогнозирования.
8. Обобщенный метод наименьших квадратов (ОМНК).
9. Что понимается под гомоскедастичностью?
10. Как проверяется гипотеза о гомоскедастичности ряда остатков?
11. Оценка качества регрессии. Проверка адекватности и достоверности модели.
12. Значимость коэффициентов регрессии (критерий Стъюдента).
13. Дисперсионный анализ. Проверка достоверности модели связи (по F-критерию Фишера).
14. Коэффициенты и индексы корреляции. Мультиколлениарность.
15. Оценка значимости корреляции. Детерминация.
16. Средняя ошибка аппроксимации.
17. Принятие решений на основе уравнений регрессии.
18. В каких задачах эконометрики используется распределение Фишера?
19. Таблицы каких распределений используются при оценке качества линейной регрессии?
20. Каковы особенности практического применения регрессионных моделей?
21. Как осуществляется прогнозирование экономических показателей с использованием моделей линейной регрессии?
22. Как можно оценить «естественный» уровень безработицы с использованием модели линейной регрессии?
23. В каких случаях необходимо уточнение линейной регрессионной модели и как оно осуществляется?
24. Когда необходимо выведение из рассмотрения незначимых объясняющих переменных и добавление новых переменных?
Задания и задачи
1 . Имеются данные о показателях деятельности компаний США в 2006г.
| № п/п | Чистая прибыль, млрд$,у | Использованный капитал, млрд $,х 1 | Оборот капитала, млрд$,х 2 | Капитализация компании, млрд$, х 4 | Численность сотрудников, тыс.чел., х 3 |
| 0,9 | 18,9 | 31,3 | 40,9 | 43,0 | |
| 1,7 | 13,7 | 13,4 | 40,5 | 64,7 | |
| 0,7 | 18,5 | 4,5 | 38,9 | 24,0 | |
| 1,7 | 4,8 | 10,0 | 38,5 | 50,2 | |
| 2,6 | 21,8 | 20,0 | 37,3 | 106,0 | |
| 1,3 | 5,8 | 15,0 | 26,5 | 96,6 | |
| 4,1 | 99,0 | 137,1 | 37,0 | 347,0 | |
| 1,6 | 20,1 | 17,9 | 36,8 | 85,6 | |
| 6,9 | 60,6 | 165,4 | 36,3 | 745,0 | |
| 0,4 | 1,4 | 2,0 | 35,3 | 4,1 | |
| 1,3 | 8,0 | 6,8 | 35,3 | 26,8 | |
| 1,9 | 18,9 | 27,1 | 35,0 | 42,7 | |
| 1,9 | 13,2 | 13,4 | 26,2 | 61,8 | |
| 1,4 | 12,6 | 9,8 | 33,1 | 212,0 | |
| 0,4 | 12,2 | 19,5 | 32,7 | 105,0 | |
| 0,8 | 3,2 | 6,8 | 32,1 | 33,5 | |
| 1,8 | 13,0 | 27,0 | 30,5 | 142,0 | |
| 0,9 | 6,9 | 12,4 | 29,8 | 96,0 | |
| 1,1 | 15,0 | 17,7 | 25,4 | 140,0 | |
| 1,9 | 11,9 | 12,7 | 29,3 | 59,3 | |
| -0,9 | 1,6 | 21,4 | 29,2 | 131,0 | |
| 1,3 | 8,6 | 13,5 | 29,2 | 70,7 | |
| 2,0 | 11,5 | 13,4 | 29,1 | 65,4 | |
| 0,6 | 1,9 | 4,2 | 27,9 | 23,1 | |
| 0,7 | 5.8 | 15,5 | 27,2 | 80,8 |
2. Имеются данные о показателях деятельности компаний США в 2009г.
| № п/п | Чистая прибыль, млрд $, у | Использованный капитал, млрд $.х 1 | Оборот капитала, млрд$, х 2 | Численность, тыс. чел., х 3 |
| 6,6 | 83,6 | 6,9 | 222,0 | |
| 3,0 | 6,5 | 18.0 | 32,0 | |
| 6,5 | 50,4 | 107,9 | 82,0 | |
| 3,3 | 15,4 | 16,7 | 45,2 | |
| 0,1 | 29,6 | 79,6 | 299,3 | |
| 3,6 | 13,3 | 16,2 | 41,6 | |
| 1,5 | 5,9 | 5,9 | 17,8 | |
| 5,5 | 27,1 | 53,1 | 151,0 | |
| 2,4 | 11,2 | 18,8 | 82,3 | |
| 3,0 | 16,4 | 35,3 | 103,0 | |
| 4,2 | 32,5 | 71,9 | 225,4 | |
| 2,7 | 25,4 | 93,6 | 675,0 | |
| 1,6 | 6,4 | 10,0 | 43,8 | |
| 2,4 | 12,5 | 31,5 | 102,3 | |
| 3,3 | 14,3 | 36,7 | 105,0 | |
| 1,8 | 6,5 | 13,8 | 49,1 | |
| 2,4 | 22,7 | 64,8 | 50,4 | |
| 1,6 | 15,8 | 30,4 | 480,0 | |
| 1,4 | 9,3 | 12,1 | 71,0 | |
| 0,9 | 18,9 | 31,3 | 43,0 |
