И др. Все они являются оценками своих теоретических аналогов, которые можно было бы получить, если бы в распоряжении была не выборка, а генеральная совокупность. Но увы, генеральная совокупность – это очень дорого и часто недоступно.
Понятие об интервальном оценивании
Любая выборочная оценка обладает некоторым разбросом, т.к. является случайной величиной, зависящей от значений в конкретной выборке. Стало быть, для более надежных статистических выводов следует знать не только точечную оценку, но и интервал, который с высокой вероятностью γ (гамма) накрывает оцениваемый показатель θ (тета).
Формально, это два таких значения (статистики) T 1 (X) и T 2 (X) , что T 1 < T 2 , для которых при заданном уровне вероятности γ выполняется условие:
Короче, с вероятностью γ или больше истинный показатель находится между точками T 1 (X) и T 2 (X) , которые называются нижней и верхней границей доверительного интервала .
Одним из условий построения доверительных интервалов является его максимальная узость, т.е. он должен быть насколько это возможно коротким. Желание вполне естественно, т.к. исследователь старается точнее локализовать нахождение искомого параметра.
Отсюда следует, что доверительный интервал должен накрывать максимальные вероятности распределения. а сама оценка быть в центре.
То бишь вероятность отклонения (истинного показателя от оценки) в большую сторону равна вероятности отклонения в меньшую сторону. Следует также отметить, что для несимметричных распределений интервал справа не равен интервалу слева.
По рисунку выше отчетливо видно, что чем больше доверительная вероятность, тем шире интервал – прямая зависимость.
Это была небольшая вводная часть в теорию интервального оценивания неизвестных параметров. Перейдем к нахождению доверительных границ для математического ожидания.
Доверительный интервал для математического ожидания
Если исходные данные распределены по , то и среднее будет нормальной величиной. Это следует из того правила, что линейная комбинация нормальных величин также имеет нормальное распределение. Следовательно, для расчета вероятностей мы могли бы использовать математический аппарат нормального закона распределения.
Однако для этого потребуется знать два параметра – матожидание и дисперсию, которые обычно не известны. Можно, конечно, вместо параметров использовать оценки (среднюю арифметическую и ), но тогда распределение средней будет не совсем нормальным, оно будет немного приплюснуто книзу. Этот факт ловко подметил гражданин Уильям Госсет из Ирландии, опубликовав свое открытие в мартовском выпуске журнала «Biometrica» за 1908 год. В целях конспирации Госсет подписался Стьюдентом. Так появилось t-распределение Стьюдента.
Однако нормальное распределение данных, использовавшееся К. Гауссом при анализе ошибок астрономических наблюдений, в земной жизни встречается крайне редко и установить это довольно сложно (для высокой точности необходимо порядка 2 тысяч наблюдений). Поэтому предположение о нормальности лучше всего отбросить и использовать методы, не зависящие от распределения исходных данных.
Возникает вопрос: каково же распределение средней арифметической, если оно рассчитано по данным неизвестного распределения? Ответ дает известная в теории вероятностей Центральная предельная теорема (ЦПТ). В математике существует несколько ее вариантов (на протяжении долгих лет формулировки уточнялись), но все они, грубо говоря, сводятся к утверждению, что сумма большого количества независимых случайных величин подчиняется нормальному закону распределения.
При расчете средней арифметической как раз используется сумма случайных величин. Отсюда получается, что среднее арифметическое имеет нормальное распределение, у которого матожидание – это матожидание исходных данных, а дисперсия – .
Умные люди умеют доказывать ЦПТ, но мы в этом убедимся с помощью эксперимента, проведенного в Excel. Смоделируем выборку из 50-ти равномерно распределенных случайных величин (с помощью функции Excel СЛУЧМЕЖДУ). Затем сделаем 1000 таких выборок и для каждой рассчитаем среднюю арифметическую. Посмотрим на их распределение.
Видно, что распределение средней близко к нормальному закону. Если объем выборок и их количество сделать еще больше, то сходство будет еще лучше.
Теперь, когда мы воочию убедились в справедливости ЦПТ, можно, используя , рассчитать доверительные интервалы для средней арифметической, которые с заданной вероятностью накрывают истинное среднее или математическое ожидание.
Для установления верхней и нижней границы требуется знать параметры нормального распределения. Как правило, их нет, поэтому используют оценки: среднюю арифметическую и выборочную дисперсию . Повторюсь, такой способ дает хорошее приближение только при больших выборках. Когда выборки малые, часто рекомендуют использовать распределение Стьюдента. Не верьте! Распределение Стьюдента для средней бывает только тогда, когда исходные данные имеют нормальное распределение, то есть почти никогда. Поэтому лучше сразу поставить минимальную планку по количеству необходимых данных и использовать асимптотически корректные методы. Говорят, достаточно 30 наблюдений. Берите 50 – не ошибетесь.
T 1,2 – нижняя и верхняя граница доверительного интервала
– выборочное среднее арифметическое
s 0 – среднее квадратичное отклонение по выборке (несмещенное)
n – размер выборки
γ – доверительная вероятность (обычно равна 0,9, 0,95 или 0,99)
c γ =Φ -1 ((1+γ)/2) – обратное значение функции стандартного нормального распределения. По-простому говоря, это количество стандартных ошибок от средней арифметической до нижней или верхней границы (указанным трем вероятностями соответствуют значения 1,64, 1,96 и 2,58).
Суть формулы в том, что берется среднее арифметическое и далее от нее откладывается некоторое количество (с γ ) стандартных ошибок (s 0 /√n ). Все известно, бери и считай.
До массового использования ПЭВМ для получения значений функции нормального распределения и обратной ей использовали . Их и сейчас используют, но эффективнее обратиться к готовым формулам Excel. Все элементы из формулы выше ( , и ) можно легко рассчитать в Excel. Но есть и готовая формула для расчета доверительного интервала – ДОВЕРИТ.НОРМ . Ее синтаксис следующий.
ДОВЕРИТ.НОРМ(альфа;стандартное_откл;размер)
альфа – уровень значимости или доверительный уровень, который в принятых выше обозначениях равен 1- γ, т.е. вероятность того, что математическое ожидание окажется за пределами доверительного интервала. При доверительной вероятности 0,95, альфа равно 0,05 и т.д.
стандартное_откл – среднее квадратичное отклонение выборочных данных. Стандартную ошибку рассчитывать не нужно, Excel сам разделит на корень из n.
размер – размер выборки (n).
Результат функции ДОВЕРИТ.НОРМ – это второе слагаемое из формулы расчета доверительного интервала, т.е. полуинтервал. Соответственно, нижняя и верхняя точка – это среднее ± полученное значение.
Таким образом, можно построить универсальный алгоритм расчета доверительных интервалов для средней арифметической, который не зависит от распределения исходных данных. Платой за универсальность является его асимптотичность, т.е. необходимость использования относительно больших выборок. Однако в век современных технологий собрать нужное количество данных обычно не представляет трудностей.
Проверка статистических гипотез с помощью доверительного интервала
{module 111}
Одной из главных задач, решаемых в статистике, является . Ее суть вкратце такова. Выдвигается предположение, например, что матожидание генеральной совокупности равно какому-то значению. Затем строится распределение выборочных средних, которые могут наблюдаться при данном матожидании. Далее смотрят, в каком месте этого условного распределения находится реальная средняя. Если она выходит за допустимые пределы, то появление такого среднего очень маловероятно, а при однократном повторении эксперимента почти невозможно, что противоречит выдвинутой гипотезе, которая успешно отклоняется. Если же среднее не выходит за критический уровень, то гипотеза не отклоняется (но и не доказывается!).
Так вот с помощью доверительных интервалов, в нашем случае для матожидания, также можно проверять некоторые гипотезы. Это очень просто сделать. Допустим, средняя арифметическая по некоторой выборке равна 100. Проверяется гипотеза о том, что матожидание равно, допустим, 90. То есть, если поставить вопрос примитивно, то он звучит так: может ли такое быть, чтобы при истинном значении средней равной 90, наблюдаемая средняя оказалась равна 100?
Для ответа на этот вопрос дополнительно потребуется информация о среднем квадратичном отклонении и размере выборки. Допустим среднеквадратичное отклонение равно 30, а количество наблюдений 64 (чтобы легко извлечь корень). Тогда стандартная ошибка средней равна 30/8 или 3,75. Для расчета 95% доверительного интервала потребуется отложить в обе стороны от средней по две стандартные ошибки (точнее, по 1,96). Доверительный интервал получится примерно 100±7,5 или от 92,5 до 107,5.
Далее рассуждения следующие. Если проверяемое значение попадает в доверительный интервал, то оно не противоречит гипотезе, т.к. укладывается в пределы случайных колебаний (с вероятностью 95%). Если проверяемая точка выходит за пределы доверительного интервала, то вероятность такого события очень маленькая, во всяком случае ниже допустимого уровня. Значит, гипотезу отклоняют, как противоречащую наблюдаемым данным. В нашем случае гипотеза о матожидании находится за пределами доверительного интервала (проверяемое значение 90 не входит в интервал 100±7,5), поэтому ее следует отклонить. Отвечая на примитивный вопрос выше, следует сказать: нет не может, во всяком случае такое случается крайне редко. Часто при этом указывают конкретную вероятность ошибочного отклонения гипотезы (p-level), а не заданный уровень, по которому строился доверительный интервал, но об этом в другой раз.
Как видим, построить доверительный интервал для среднего (или математического ожидания) несложно. Главное, уловить суть, а дальше дело пойдет. На практике в большинстве случаев используются 95% доверительный интервал, который имеет в ширину примерно две стандартные ошибки по обе стороны от средней.
На этом пока все. Всех благ!
Доверительный интервал – предельные значения статистической величины, которая с заданной доверительной вероятностью γ будет находится в этом интервале при выборке большего объема. Обозначается как P(θ - ε . На практике выбирают доверительную вероятность γ из достаточно близких к единице значений γ = 0.9 , γ = 0.95 , γ = 0.99 .Назначение сервиса . С помощью этого сервиса определяются:
- доверительный интервал для генерального среднего, доверительный интервал для дисперсии;
- доверительный интервал для среднего квадратического отклонения, доверительный интервал для генеральной доли;
Пример №1
. В колхозе из общего стада в 1000 голов овец выборочной контрольной стрижке подверглись 100 овец. В результате был установлен средний настриг шерсти 4,2 кг на одну овцу. Определить с вероятностью 0,99 среднюю квадратическую ошибку выборки при определении среднего настрига шерсти на одну овцу и пределы, в которых заключена величина настрига, если дисперсия равна 2,5 . Выборка бесповторная.
Пример №2
. Из партии импортируемой продукции на посту Московской Северной таможни было взято в порядке случайной повторной выборки 20 проб продукта «А». В результате проверки установлена средняя влажность продукта «А» в выборке, которая оказалась равной 6 % при среднем квадратическом отклонении 1 %.
Определите с вероятностью 0,683 пределы средней влажности продукта во всей партии импортируемой продукции.
Пример №3
. Опрос 36 студентов показал, что среднее количество учебников, прочитанных ими за учебный год, оказалось равным 6. Считая, что количество учебников, прочитанных студентом за семестр, имеет нормальный закон распределения со средним квадратическим отклонением, равным 6, найти:
А) с надежностью 0,99 интервальную оценку для математического ожидания этой случайной величины;
Б) с какой вероятностью можно утверждать, что среднее количество учебников, прочитанных студентом за семестр, вычисленное по данной выборке, отклонится от математического ожидания по абсолютной величине не больше, чем на 2.
Классификация доверительных интервалов
По виду оцениваемого параметра:
По типу выборки:
- Доверительный интервал для бесконечной выборки;
- Доверительный интервал для конечной выборки;
Расчет средней ошибки выборки при случайном отборе
Расхождение между значениями показателей, полученных по выборке, и соответствующими параметрами генеральной совокупности называется ошибкой репрезентативности .Обозначения основных параметров генеральной и выборочной совокупности.
| Формулы средней ошибки выборки | |||
| повторный отбор | бесповторный отбор | ||
| для средней | для доли | для средней | для доли |
 |
|||
Формулы расчета численности выборки при собственно-случайном способе отбора
Часто оценщику приходится анализировать рынок недвижимости того сегмента, в котором располагается объект оценки. Если рынок развит, проанализировать всю совокупность представленных объектов бывает сложно, поэтому для анализа используется выборка объектов. Не всегда эта выборка получается однородной, иногда требуется очистить ее от экстремумов - слишком высоких или слишком низких предложений рынка. Для этой цели применяется доверительный интервал . Цель данного исследования - провести сравнительный анализ двух способов расчета доверительного интервала и выбрать оптимальный вариант расчета при работе с разными выборками в системе estimatica.pro.
Доверительный интервал - вычисленный на основе выборки интервал значений признака, который с известной вероятностью содержит оцениваемый параметр генеральной совокупности.
Смысл вычисления доверительного интервала заключается в построении по данным выборки такого интервала, чтобы можно было утверждать с заданной вероятностью, что значение оцениваемого параметра находится в этом интервале. Другими словами, доверительный интервал с определенной вероятностью содержит неизвестное значение оцениваемой величины. Чем шире интервал, тем выше неточность.
Существуют разные методы определения доверительного интервала. В этой статье рассмотрим 2 способа:
- через медиану и среднеквадратическое отклонение;
- через критическое значение t-статистики (коэффициент Стьюдента).
Этапы сравнительного анализа разных способов расчета ДИ:
1. формируем выборку данных;
2. обрабатываем ее статистическими методами: рассчитываем среднее значение, медиану, дисперсию и т.д.;
3. рассчитываем доверительный интервал двумя способами;
4. анализируем очищенные выборки и полученные доверительные интервалы.
Этап 1. Выборка данных
Выборка сформирована с помощью системы estimatica.pro. В выборку вошло 91 предложение о продаже 1 комнатных квартир в 3-ем ценовом поясе с типом планировки «Хрущевка».
Таблица 1. Исходная выборка
|
Цена 1 кв.м., д.е. |
|
Рис.1. Исходная выборка
Этап 2. Обработка исходной выборки
Обработка выборки методами статистики требует вычисления следующих значений:
1. Среднее арифметическое значение
2. Медиана - число, характеризующее выборку: ровно половина элементов выборки больше медианы, другая половина меньше медианы
(для выборки, имеющей нечетное число значений)
3. Размах - разница между максимальным и минимальным значениями в выборке
4. Дисперсия - используется для более точного оценивания вариации данных
5. Среднеквадратическое отклонение по выборке (далее - СКО) - наиболее распространённый показатель рассеивания значений корректировок вокруг среднего арифметического значения.
6. Коэффициент вариации - отражает степень разбросанности значений корректировок
7. коэффициент осцилляции - отражает относительное колебание крайних значений цен в выборке вокруг средней
Таблица 2. Статистические показатели исходной выборки
Коэффициент вариации, который характеризует однородность данных, составляет 12,29%, однако коэффициент осцилляции слишком велик. Таким образом, мы можем утверждать, что исходная выборка не является однородной, поэтому перейдем к расчету доверительного интервала.
Этап 3. Расчёт доверительного интервала
Способ 1. Расчёт через медиану и среднеквадратическое отклонение.
Доверительный интервал определяется следующим образом: минимальное значение - из медианы вычитается СКО; максимальное значение - к медиане прибавляется СКО.
Таким образом, доверительный интервал (47179 д.е.; 60689 д.е.)
Рис. 2. Значения, попавшие в доверительный интервал 1.
Способ 2. Построение доверительного интервала через критическое значение t-статистики (коэффициент Стьюдента)
С.В. Грибовский в книге «Математические методы оценки стоимости имущества» описывает способ вычисления доверительного интервала через коэффициент Стьюдента. При расчете этим методом оценщик должен сам задать уровень значимости ∝, определяющий вероятность, с которой будет построен доверительный интервал. Обычно используются уровни значимости 0,1; 0,05 и 0,01. Им соответствуют доверительные вероятности 0,9; 0,95 и 0,99. При таком методе полагают истинные значения математического ожидания и дисперсии практически неизвестными (что почти всегда верно при решении практических задач оценки).
Формула доверительного интервала:
n - объем выборки;
Критическое значение t- статистики (распределения Стьюдента) с уровнем значимости ∝,числом степеней свободы n-1,которое определяется по специальным статистическим таблицам либо с помощью MS Excel ( →"Статистические"→ СТЬЮДРАСПОБР);
∝ - уровень значимости, принимаем ∝=0,01.
Рис. 2. Значения, попавшие в доверительный интервал 2.
Этап 4. Анализ разных способов расчета доверительного интервала
Два способа расчета доверительного интервала - через медиану и коэффициент Стьюдента - привели к разным значениям интервалов. Соответственно, получилось две различные очищенные выборки.
Таблица 3. Статистические показатели по трем выборкам.
|
Показатель |
Исходная выборка |
1 вариант |
2 вариант |
|
Среднее значение |
|||
|
Дисперсия |
|||
|
Коэф. вариации |
|||
|
Коэф. осциляции |
|||
|
Количество выбывших объектов, шт. |
|||
На основании выполненных расчетов можно сказать, что полученные разными методами значения доверительных интервалов пересекаются, поэтому можно использовать любой из способов расчета на усмотрение оценщика.
Однако мы считаем, что при работе в системе estimatica.pro целесообразно выбирать метод расчета доверительного интервала в зависимости от степени развитости рынка:
- если рынок неразвит, применять метод расчета через медиану и среднеквадратическое отклонение, так как количество выбывших объектов в этом случае невелико;
- если рынок развит, применять расчет через критическое значение t-статистики (коэффициент Стьюдента), так как есть возможность сформировать большую исходную выборку.
При подготовке статьи были использованы:
1. Грибовский С.В., Сивец С.А., Левыкина И.А. Математические методы оценки стоимости имущества. Москва, 2014 г.
2. Данные системы estimatica.pro
Доверительный интервал для математического ожидания - это такой вычисленный по данным интервал, который с известной вероятностью содержит математическое ожидание генеральной совокупности. Естественной оценкой для математического ожидания является среднее арифметическое её наблюденных значений. Поэтому далее в течение урока мы будем пользоваться терминами "среднее", "среднее значение". В задачах рассчёта доверительного интервала чаще всего требуется ответ типа "Доверительный интервал среднего числа [величина в конкретной задаче] находится от [меньшее значение] до [большее значение]". С помощью доверительного интервала можно оценивать не только средние значения, но и удельный вес того или иного признака генеральной совокупности. Средние значения, дисперсия, стандартное отклонение и погрешность, через которые мы будем приходить к новым определениям и формулам, разобраны на уроке Характеристики выборки и генеральной совокупности .
Точечная и интервальная оценки среднего значения
Если среднее значение генеральной совокупности оценивается числом (точкой), то за оценку неизвестной средней величины генеральной совокупности принимается конкретное среднее, которое рассчитано по выборке наблюдений. В таком случае значение среднего выборки - случайной величины - не совпадает со средним значением генеральной совокупности. Поэтому, указывая среднее значение выборки, одновременно нужно указывать и ошибку выборки. В качестве меры ошибки выборки используется стандартная ошибка , которая выражена в тех же единицах измерения, что и среднее. Поэтому часто используется следующая запись: .
Если оценку среднего требуется связать с определённой вероятностью, то интересующий параметр генеральной совокупности нужно оценивать не одним числом, а интервалом. Доверительным интервалом называют интервал, в котором с определённой вероятностью P находится значение оцениваемого показателя генеральной совокупности. Доверительный интервал, в котором с вероятностью P = 1 - α находится случайная величина , рассчитывается следующим образом:
,
α = 1 - P , которое можно найти в приложении к практически любой книге по статистике.
На практике среднее значение генеральной совокупности и дисперсия не известны, поэтому дисперсия генеральной совокупности заменяется дисперсией выборки , а среднее генеральной совокупности - средним значением выборки . Таким образом, доверительный интервал в большинстве случаев рассчитывается так:
.
Формулу доверительного интервала можно использовать для оценки среднего генеральной совокупности, если
- известно стандартное отклонение генеральной совокупности;
- или стандартное отклонение генеральной совокупности не известно, но объём выборки - больше 30.
Среднее значение выборки
является несмещённой оценкой среднего генеральной совокупности .
В свою очередь, дисперсия выборки 
не является несмещённой оценкой дисперсии генеральной совокупности .
Для получения несмещённой оценки дисперсии генеральной совокупности в формуле дисперсии выборки объём
выборки n
следует заменить на n
-1.
Пример 1. Собрана информация из 100 случайно выбранных кафе в некотором городе о том, что среднее число работников в них составляет 10,5 со стандартным отклонением 4,6. Определить доверительный интервал 95% числа работников кафе.
где - критическое значение стандартного нормального распределения для уровня значимости α = 0,05 .
Таким образом, доверительный интервал 95% среднего числа работников кафе составил от 9,6 до 11,4.
Пример 2. Для случайной выборки из генеральной совокупности из 64 наблюдений вычислены следующие суммарные величины:
сумма значений в наблюдениях ,
сумма квадратов отклонения значений от среднего 
.
Вычислить доверительный интервал 95 % для математического ожидания.
вычислим стандартное отклонение:
,
вычислим среднее значение:
.
Подставляем значения в выражение для доверительного интервала:
где - критическое значение стандартного нормального распределения для уровня значимости α = 0,05 .
Получаем:
Таким образом, доверительный интервал 95% для математического ожидания данной выборки составил от 7,484 до 11,266.
Пример 3. Для случайной выборки из генеральной совокупности из 100 наблюдений вычислено среднее значение 15,2 и стандартное отклонение 3,2. Вычислить доверительный интервал 95 % для математического ожидания, затем доверительный интервал 99 %. Если мощность выборки и её вариация остаются неизменными, а увеличивается доверительный коэффициент, то доверительный интервал сузится или расширится?
Подставляем данные значения в выражение для доверительного интервала:
где - критическое значение стандартного нормального распределения для уровня значимости α = 0,05 .
Получаем:
.
Таким образом, доверительный интервал 95% для среднего данной выборки составил от 14,57 до 15,82.
Вновь подставляем данные значения в выражение для доверительного интервала:
где - критическое значение стандартного нормального распределения для уровня значимости α = 0,01 .
Получаем:
.
Таким образом, доверительный интервал 99% для среднего данной выборки составил от 14,37 до 16,02.
Как видим, при увеличении доверительного коэффициента увеличивается также критическое значение стандартного нормального распределения, а, следовательно, начальная и конечная точки интервала расположены дальше от среднего, и, таким образом, доверительный интервал для математического ожидания увеличивается.
Точечная и интервальная оценки удельного веса
Удельный вес некоторого признака выборки можно интерпретировать как точечную оценку удельного веса p этого же признака в генеральной совокупности. Если же эту величину нужно связать с вероятностью, то следует рассчитать доверительный интервал удельного веса p признака в генеральной совокупности с вероятностью P = 1 - α :
.
Пример 4. В некотором городе два кандидата A и B претендуют на пост мэра. Случайным образом были опрошены 200 жителей города, из которых 46% ответили, что будут голосовать за кандидата A , 26% - за кандидата B и 28% не знают, за кого будут голосовать. Определить доверительный интервал 95% для удельного веса жителей города, поддерживающих кандидата A .
Пусть случайная величина (можно говорить о генеральной совокупности) распределена по нормальному закону, для которого известна дисперсия D = 2 (> 0). Из генеральной совокупности (на множестве объектов которой определена случайная величина) делается выборка объема n. Выборка x 1 , x 2 ,..., x n рассматривается как совокупность n независимых случайных величин, распределенных так же как (подход, которому дано объяснение выше по тексту).
Ранее также обсуждались и доказаны следующие равенства:
Mx 1 = Mx 2 = ... = Mx n = M;
Dx 1 = Dx 2 = ... = Dx n = D;
Достаточно просто доказать (мы доказательство опускаем), что случайная величина в данном случае также распределена по нормальному закону.
Обозначим неизвестную величину M через a и подберем по заданной надежности число d > 0 так, чтобы выполнялось условие:
P(- a < d) = (1)
Так как случайная величина распределена по нормальному закону с математическим ожиданием M = M = a и дисперсией D = D /n = 2 /n, получаем:
P(- a < d) =P(a - d < < a + d) =
Осталось подобрать d таким, чтобы выполнялось равенство
Для любого можно по таблице найти такое число t, что(t)= / 2. Это число t иногда называют квантилем .
Теперь из равенства
определим значение d:
Окончательный результат получим, представив формулу (1) в виде:
Смысл последней формулы состоит в следующем: с надежностью доверительный интервал
покрывает неизвестный параметр a = M генеральной совокупности. Можно сказать иначе: точечная оценка определяет значение параметра M с точностью d= t / и надежностью.
Задача. Пусть имеется генеральная совокупность с некоторой характеристикой, распределенной по нормальному закону с дисперсией, равной 6,25. Произведена выборка объема n = 27 и получено средневыборочное значение характеристики = 12. Найти доверительный интервал, покрывающий неизвестное математическое ожидание исследуемой характеристики генеральной совокупности с надежностью =0,99.
Решение. Сначала по таблице для функции Лапласа найдем значение t из равенства (t) = / 2 = 0,495. По полученному значению t = 2,58 определим точность оценки (или половину длины доверительного интервала) d: d = 2,52,58 / 1,24. Отсюда получаем искомый доверительный интервал: (10,76; 13,24).
статистический гипотеза генеральный вариационный
Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения при неизвестной дисперсии
Пусть - случайная величина, распределенная по нормальному закону с неизвестным математическим ожиданием M, которое обозначим буквой a . Произведем выборку объема n. Определим среднюю выборочную и исправленную выборочную дисперсию s 2 по известным формулам.
Случайная величина
распределена по закону Стьюдента с n - 1 степенями свободы.
Задача заключается в том, чтобы по заданной надежности и по числу степеней свободы n - 1 найти такое число t , чтобы выполнялось равенство
или эквивалентное равенство
Здесь в скобках написано условие того, что значение неизвестного параметра a принадлежит некоторому промежутку, который и является доверительным интервалом. Его границы зависят от надежности, а также от параметров выборки и s.
Чтобы определить значение t по величине, равенство (2) преобразуем к виду:
Теперь по таблице для случайной величины t, распределенной по закону Стьюдента, по вероятности 1 - и числу степеней свободы n - 1 находим t. Формула (3) дает ответ поставленной задачи.
Задача. На контрольных испытаниях 20-ти электроламп средняя продолжительность их работы оказалась равной 2000 часов при среднем квадратическом отклонении (рассчитанном как корень квадратный из исправленной выборочной дисперсии), равном 11-ти часам. Известно, что продолжительность работы лампы является нормально распределенной случайной величиной. Определить с надежностью 0,95 доверительный интервал для математического ожидания этой случайной величины.
Решение. Величина 1 - в данном случае равна 0,05. По таблице распределения Стьюдента, при числе степеней свободы, равном 19, находим: t = 2,093. Вычислим теперь точность оценки: 2,093121/ = 56,6. Отсюда получаем искомый доверительный интервал: (1943,4; 2056,6).
