Принцип сопряженных подсистем. Сопряженные функции

Методы наискорейшего спуска и спуска по координатам даже для квадратичной функции требуют бесконечного числа итераций. Однако можно построить такие направления спуска, что для квадратичной функции

• (3.12)
• (где r есть n-мерный вектор) с симметричной положительно определенной матрицей А процесс спуска сойдется точно к минимуму за конечное число шагов.

Положительно определенная матрица позволяет ввести норму вектора следующим образом:

Определение (3.13) означает, что под скалярным произведением двух векторов x и у теперь подразумевается величина (х, Ау). Векторы, ортогональные в смысле этого скалярного произведения

(х, Ау) = 0 (3.14)

называют сопряженными (по отношению к данной матрице А).

На этом основана большая группа методов: сопряженных градиентов, сопряженных направлений, параллельных касательных и другие.

Для квадратичной функции они применяются с одинаковым успехом. На произвольные функции наиболее хорошо обобщается метод сопряженных направлений, у которого детали алгоритма тщательно отобраны.

Сначала рассмотрим, как применяется этот метод к квадратичной форме (3.12). Для этого нам потребуются некоторые свойства сопряженных векторов.

Пусть имеется некоторая система попарно сопряженных векторов х i . Нормируем каждый из этих векторов в смысле нормы (3.14), тогда соотношения между ними примут вид

Докажем, что взаимно сопряженные векторы линейно-независимы. Из равенства

что противоречит положительной определенности матрицы. Это противоречие доказывает наше утверждение. Значит, система n-сопряженных векторов является базисом в n-мерном пространстве. Для данной матрицы имеется бесчисленное множество базисов, состоящих из взаимно сопряженных векторов.

Пусть нашли некоторый спряженный базис х i , 1 in. Выберем произвольную точку r 0 . Любое движение из этой точки можно разложить по сопряженному базису

Подставляя это выражение в правую часть формулы (3.12), преобразуем ее с учетом сопряженности базиса (3.15) к следующему виду:

Последняя сумма состоит из членов, каждый из которых соответствует только одной компоненте суммы (3.16). Это означает, что движение по одному из сопряженных направлений х i меняет только один член суммы (3.17), не затрагивая остальных.

Совершим из точки r 0 поочередные спуски до минимума по каждому из сопряженных направлений x i . Каждый спуск минимизирует свой член суммы (3.17), так что минимум квадратичной функции точно достигается после выполнения одного цикла спусков, то есть за конечное число действий.

Сопряженный базис можно построить способом параллельных касательных плоскостей.

Пусть некоторая прямая параллельна вектору х, а квадратичная функция достигает на этой прямой минимального значения в точке r 0 . Подставим уравнение этой прямой r = r 0 + бx в выражение (3.12) и потребуем выполнения условия минимума функции

ц(б) = Ф(r 0) + б 2 + б (x, 2Аr 0 + b),

и положим (dц/dб) б-0 = 0. Отсюда следует уравнение, которому удовлетворяет точка минимума:

(х, 2Аr 0 + b) = 0. (3.18)

Пусть на какой-нибудь другой прямой, параллельно первой, функция принимает минимальное значение в точке r 1 ;тогда аналогично найдем (х, 2Аr 1 + b) = 0. Вычитая это равенство из (3.18), получим

(х, А(r 1 r 0)) = 0. (3.19)

Следовательно, направление, соединяющее точки минимума на двух параллельных прямых, сопряжено направлению этих прямых.

Таким образом, всегда можно построить вектор, сопряженный произвольному заданному вектору х. Для этого достаточно провести две прямые, параллельные х, и найти на каждой прямой минимум квадратичной формы (3.12). Вектор r 1 r 0 , соединяющий эти минимумы, сопряжен х. Заметим, что прямая касается линии уровня в той точке, где функция на данной прямой принимает минимальное значение; с этим связано название способа.

Пусть имеются две параллельные m-мерные плоскости, порожденные системой сопряженных векторов х i , 1 imn. Пусть квадратичная функция достигает своего минимального значения на этих плоскостях соответственно в точках r 0 и r 1 . Аналогичными рассуждениями можно доказать, что вектор r 1 r 0 , соединяющий точки минимума, сопряжен всем векторам х i . Следовательно, если задана неполная система сопряженных векторов х i , то этим способом всегда можно построить вектор r 1 r 0 , сопряженный всем векторам этой системы.

Рассмотрим один цикл процесса построения сопряженного базиса. Пусть уже построен базис, в котором последние m векторов взаимно сопряжены, а первые n-m векторов не сопряжены последним. Найдем минимум квадратичной функции (3.12) в какой-нибудь m-мерной плоскости, порожденной последними mвекторами базиса. Поскольку эти векторы взаимно сопряжены, то для этого достаточно произвольно выбрать точку r 0 и сделать из нее спуск поочередно по каждому из этих направлений (до минимума). Точку минимума в этой плоскости обозначим через r 1 .

Теперь из точки r 1 сделаем поочередный спуск по первым n - m векторам базиса. Этот спуск выведет траекторию из первой плоскости и приведет ее в некоторую точку r 2 . Из точки r 2 снова совершим по последним m направлениям спуск, который приведет в точку r 3 . Этот спуск означает точное нахождение минимума во второй плоскости, параллельной первой плоскости. Следовательно, направление r 3 - r 1 сопряжено последним m векторам базиса.

Если одно из несопряженных направлений в базисе заменить направлением r 3 - r 1 , то в новом базисе уже m + 1 направление будет взаимно сопряжено.

Начнем расчет циклов с произвольного базиса; для него можно считать, что m=1. Описанный процесс за один цикл увеличивает на единицу число сопряженных векторов в базисе. Значит, за n - 1 цикл все векторы базиса станут сопряженными, и следующий цикл приведет траекторию в точку минимума квадратичной функции (3.12).

Хотя понятие сопряженного базиса определено только для квадратичной функции, описанный выше процесс построен так, что его можно формально применять для произвольной функции. Разумеется, что при этом находить минимум вдоль направления надо методом парабол, не используя нигде формул, связанных с конкретным видом квадратичной функции (3.12).

В малой окрестности минимума приращение достаточно гладкой функции обычно представило в виде симметричной положительно определенной квадратичной формы типа (3.2). Если бы это представление было точным, то метод сопряженных направлений сходился бы за конечное число шагов. Но представление приближенно, поэтому число шагов будет бесконечным; зато сходимость этого метода вблизи минимума будет квадратичной.

Благодаря квадратичной сходимости метод сопряженных направлений позволяет находить минимум с высокой точностью. Методы с линейной сходимостью обычно определяют экстремальные значения координат менее точно.

Метод сопряженных направлений является, по-видимому, наиболее эффективным методом спуска. Он неплохо работает и при вырожденном минимуме, и при разрешимых оврагах, и при наличии слабо наклонных участков рельефа - «плато», и при большом числе переменных - до двух десятков.

Сопряженные функции. Субдифференциалы. Принцип минимакса. Задачи о проективной двойственности Срок сдачи 18 апреля 2014 г. (1) Найти сопряженные к функциям p (a) |x|p , p ≥ 1 (b) ex−1 (c) max{|x|, x2 } (d) f (x) = 12 hQx, xi + hb, xi + c, Q - симметричная положительная d × d матрица, b, x ∈ Rd , c ∈ R (e) f (x) = ln(1 + ex1 + · · · + exd) (f) max{x 1 , · · · , xn } √ (g) 1 + x2 (h) δA , где A - множество в Rd и δA (x) = 0, если x ∈ A, δA (x) = +∞, если x∈ /A (i) hA , где A - множество в Rd и hA (y) = sup{hx, yi, x ∈ A}. (2) Докажите неравенство p p hx, yi ≤ 1 + |x|2 − 1 − |y|2 , (3) (4) (5) (6) x, y ∈ Rd , |y| ≤ 1. Когда достигается точное равенство? Как устроена функция, сопряженная к функции, график которой - выпуклый многогранник? Рассмотрим множество отрезков длины 1 на R+ ×R+ с концами на координатных прямых. Докажите, что астроида является огибающей для этого множества. Какая функция является сопряженной к функции, графиком которой является астроида? Пусть f - функция, не являющаяся выпуклой. Опишите ее вторую сопряженную. Пусть f, f ∗ - гладкие выпуклые функции, причем в каждой точке матрицы вторых производных (гессианы) D2 f, D2 f ∗ невырождены. Докажите, что для любого x выполнено соотношение D2 f (x) · D2 f ∗ (∇f (x)) = I, где I - единичная матрица. (7) Найдите общее решение следующего дифференциального уравнения f 00 = (f − xf 0)2 . (8) Вычислить субдифференциал выпуклой функций в нуле (a) max{ex , 1 − x} P (b) di=1 |xi | (c) max1≤i≤d |xi | (9) Докажите, что x0 - точка минимума выпуклой функции f тогда и только тогда, когда 0 ∈ ∂f (x0). (10) Найти минимум функций (a) x2 + y 2 + 4p max(x, y) (b) x2 + y 2 + 2 (x − a)2 + (y − b)2 (11) Докажите соотношение (f ⊕ g)∗ = f ∗ + g ∗ , 1 где f ⊕ g(x) = inf a+b=x (f (a) + g(b)). (12) Докажите (не используя принцип минимакса), что максимум в задаче линейного программирования не превосходит минимума в двойственной. (13) Сформулируйте двойственную к задаче линейного программирования и решите ее. x1 + 2x2 + · · · + nxn → min x1 ≥ 1, x1 + x2 ≥ 2, · · · , x1 + x2 + · · · + xn ≥ n xi ≥ 0, 1 ≤ i ≤ n. Задачи о проективной двойственности Определение. Двойственной проективной плоскостью RP2∗ называется пространство прямых на проективной плоскости RP2 . 14) Докажите, что двойственная проективная плоскость имеет естественную структуру проективной плоскости, в которой прямая – это семейство прямых в RP2 , проходящих через данную точку. (В частности, многообразия RP2 и RP2∗ диффеоморфны.) 15) Рассмотрим произвольные две различные прямые a, b ⊂ RP2 , обозначим O = a ∩ b, a = a \ O, b = b \ O. На каждой прямой имеется естественная вещественная аффинная координата, определенная однозначно с точностью до композиции с аффинным преобразованием: a, b " R. Для любых x ∈ a и y ∈ b пусть l(x, y) – прямая, проходящая через x и y. Докажите, что отображение a × b → RP2∗ , (x, y) 7→ l(x, y) является аффинной картой. Определение. Пусть γ ⊂ RP2 – гладкая кривая. Двойственной кривой к γ называется кривая γ ∗ ⊂ RP2∗ , являющаяся семейством касательных прямых к γ. 16) Докажите, что γ ∗∗ = γ. 17) Пусть f (x) – гладкая строго выпуклая функция, a f ∗ (x∗) – сопряженная к ней. Рассмотрим их графики Γ(f) и Γ(f ∗) в соответствующих аффинных плоскостях (x, y) и (x∗ , y ∗) (точнее, конечные части графиков, где значения функций конечны). Докажите, что кривая Γ(f ∗) переводится аффинным преобразованием в кривую, двойственную к Γ(f). Указание: использовать результат задачи 2). 18) Докажите, что кривая, двойственная гладкой конике (кривой второго порядка, не сводящейся к паре прямых), также является гладкой коникой. 19) Дайте определение двойственной ломаной (двойственного многоугольника) и решите аналоги задач 3) и 4) для ломаной γ и кусочно-аффинной функции f (график – ломаная). 2

СОПРЯЖЕННАЯ ФУНКЦИЯ

Понятие теории функций, являющееся конкретным отражением нек-рого инволютивного оператора для соответствующего класса функций.
1) С. ф. к комплекснозначной функции . наз. функцию значения к-рой являются комплексно сопряженными к значениям f.
2) С. ф. к гармонической функции - см. Сопряженные гармонические функции .
3) С. ф. к -периодической суммируемой на функции f(x)наз. функцию

она существует и почти всюду совпадает с -суммой, или суммой Абеля - Пуассона сопряженного тригонометрического ряда.
4) С. ф. к функции определенной на векторном пространстве X, находящемся в двойственности (относительно билинейной формы ) с векторным пространством Y - функция на Y, задаваемая соотношением

Для функции, заданной на Y, сопряженная функция определяется аналогично.

С. ф. к функции одного переменного будет функция

С. ф. к функции в гильбертовом пространстве Xсо скалярным произведением будет функция С. ф. к норме в нормированном пространстве будет функция N* (y), равная нулю, если и равная если
Если f - гладкая растущая на бесконечности быстрее линейной функция, то f* - не что иное, как Лежандра функции f. Для одномерных строго выпуклых функций определение, равносильное (*), было дано У. Юнгом , в других терминах. У. Юнг определял С. ф. к функции

где непрерывна и строго возрастает, соотношением

где - функция, обратная к Определение (*) для одномерных функций было впервые предложено С. Мандельбройтом (S. Mandelbrojt), в конечномерном случае - В. Фенхелем , в бесконечномерном - Ж. Моро и А. Брёнстедом . Для выпуклой функции н сопряженной с ней выполнено Юнга

С. ф.- выпуклая замкнутая функция. Оператор сопряжения*: однозначно отображает совокупность собственных выпуклых замкнутых функций на Xна совокупность собственных выпуклых замкнутых функций на Y ( Фенхеля - Моро).
Подробнее см. и .
См. также Выпуклый анализ, Опорная функция, Двойственность в экстремальных задачах и выпуклом анализе.

Лит. : Joung W. H., лProc. Roy. Soc. A

Математическая энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . И. М. Виноградов . 1977-1985 .

Смотреть что такое "СОПРЯЖЕННАЯ ФУНКЦИЯ" в других словарях:

Опорный функционал, множества А, лежащего в векторном пространстве X, функция sA, задаваемая в находящемся с ним в двойственности векторном пространстве Y соотношением Напр., О. ф. единичного тара в нормированном пространстве, рассматриваемом в… … Математическая энциклопедия

Функция, связанная с интегральным представлением решений краевых задач для дифференциальных уравнений. Г. ф. краевой задачи для линейного дифференциального уравнения фундаментальное решение уравнения, удовлетворяющее однородным краевым условиям.… … Математическая энциклопедия

Антианалитическая функция, функция одного или нескольких комплексных переменных комплексно сопряженная к голоморфной функции (см. Аналитическая функция). Е. Д. Соломенцев … Математическая энциклопедия

Управление, функция и(t), входящая в дифференциальное уравнение значения к рой в каждый момент времени могут выбираться произвольным образом. Обычно на область изменения u(t)при каждом tналагается ограничение где U заданное замкнутое множество в… … Математическая энциклопедия

Непрерывное отображение, сохраняющее форму бесконечно малых фигур. Основные понятия. Непрерывное отображение w=f(z)области G n мерного евклидова пространства в n мерное евклидово пространство наз. конформным в точке если оно в этой точке обладает … Математическая энциклопедия

1) Преобразование математич. анализа, осуществляющее двойственность между объектами в дуальных пространствах (наряду с проективной двойственностью в аналитич. еометрии и полярной двойственностью в выпуклой геометрии). Пусть гладкая функция,… … Математическая энциклопедия

1) П. т. о сопряженных функциях: пусть периодическая непрерывная функция с периодом 2p и тригонометрически сопряженная функция с f(t); тогда если f(t).удовлетворяет условию Липшица о показателем при 0Математическая энциклопедия

- (mod k) функция c(п)=c(п; k)на множестве целых чисел, удовлетворяющая условиям: Иными словами, Д. х. (mod k) это арифметич. функции, к рые не равны тождественно нулю, вполне мультипликативны и периодичны с периодом k. Понятие Д. х. ввел П.… … Математическая энциклопедия

Одно из обобщений интеграла Лебега, предложенных А. Данжуа (A. Denjoy, 1919), подробно изученное Т. Дж. Боксом (Т. J. Boks, 1921). Действительная функция f(x).на отрезке [ а, Ь]периодически (с периодом b a) продолжается на всю прямую. Для… … Математическая энциклопедия

Двойной интеграл где заданная (вообще говоря, комплексно значная) функция действительных переменных, интегрируемая с квадратом, произвольные (тоже комплекснозначные) функции, интегрируемые с квадратом, а комплексно сопряженная функция с. Если,… … Математическая энциклопедия

В большинстве случаен поиски функции удовлетворяющей заданным граничным условиям в плоскости z, начинаются с поисков такого преобразования, которое упростило бы формы границ. Если и новые граничные условия окажутся незнакомыми, нужно искать второе преобразование, еще более упрощающее граничные условия. В конце концов можно прийти к такой системе, в которой решение написать сравнительно просто. После этого необходимо проделать обратный

путь - к решению исходной задачи. Часто, однако, возможно, опуская промежуточные этапы, написать сразу функцию путем исключения промежуточных комплексных переменных. Но даже если это и невозможно, промежуточные переменные служат в качестве параметров, связывающих между собой

При совершении таких преобразований часто очень полезно представлять себе рассматриваемую область плоскости в виде упругой мембраны, обладающей свойством сохранять углы между любыми нанесенными на ней линиями при любых деформациях ее границ. При этом мембрана не может отрываться от границ, но может скользить вдоль них, а также бесконечно растягиваться и сжиматься.

Предположим, например, что в интересующей нас задаче границы проводника представляют собой две неконцентричные и непересекающиеся окружности, или две пересекающиеся окружности, или же, наконец, две окружности одного типа и одну или две другого тина, пересекающиеся ортогонально. При помощи соотношении (4.64) любую из этих областей можно преобразовать в прямоугольную:

Мы употребляем здесь вместо чтобы подчеркнуть чисто геометрический характер этого преобразовании. Из уравнений (4.67) и (4.68) следует, что когда х и у принимают значения - меняются в пределах Таким образом, функция (4.76) преобразует горизонтальную полоску шириной плоскости во всю плоскость z. Вертикальные линии внутри этой полоски превращаются, согласно уравнению (4.67), в окружвости, описываемые уравнением

а горизонтальные линии превращаются в окружности, проходящие через точки и описываемые уравнением (4.68)

Это преобразование можно представить себе, вообразив бесконечную горизонтальную полоску упругой мембраны шириной вращаемую в направлении против часовой стрелки вплоть до достижения ею вертикального положения в плоскости z. При этом точки превращаются соответственно в линии Сожмем теперь эту полоску около точек и начнем сближать точки перемещая их вдоль оси у, при этом центральная часть полоски будет растягиваться в горизонтальном направлении. Линии и подобно вееру развертываются соответственно около точек до тех пор, пока С А не совпадет с . В результате мембрана оказывается растянутой на всю плоскость z, а ее бесконечно малые дуги и становятся бесконечно удаленными дугами, разделяемыми осью х на две равные части.

функции u (х, у ), υ (x, у ) двух переменных х и у, связанные в некоторой области D условиями Коши - Римана (см. Коши-Римана уравнения (См. Коши - Римана уравнения));

При определённых условиях, например при непрерывности частных производных первого порядка, С. ф. u и υ являются соответственно действительной и мнимой частью некоторой аналитической функции f (x + iy ). Они удовлетворяют в области D уравнению Лапласа

т. е. являются гармоническими функциями (См. Гармонические функции). Заданием функции, гармонической в односвязной области D [напр., u (х, у )] однозначно (с точностью до постоянного слагаемого) определяется сопряжённая с ней гармоническая функция υ(x, у ), а тем самым и аналитическая функция f (x + iy ). Например, если

[φ = arg (х + iy )]

- гармоническая функция в некотором круге , то С. ф.

Значения С. ф. на круге r = 1 являются периодическими функциями аргумента φ. Они раскладываются в тригонометрические ряды вида

• - две р-ции, из к-рых одна дает заметный выход продуктов лишь в условиях, когда идет др. р-ция. Подобное взаимно обусловленное хим. взаимодействие наз. химической индукцией...

  Химическая энциклопедия

• - популяций, колебания численности популяций, имеющие места в случае, когда циклические изменения плотности популяций двух взаимодействующих видов связаны друг другом...

  Экологический словарь

• - минимумы, динамически друг на друга влияющие, что сказывается на направлении и скорости их перемещения. Сопряженными могут быть два и более минимумов...

  Морской словарь

• - две гиперболы, которые в одной и той же системе прямоугольных координат при одних и тех же значениях а и b определяются уравнениями: и С. г. имеют общие асимптоты и...
• - линии второго порядка, два диаметра, каждый из которых делит пополам хорды этой кривой, параллельные другому. С. д. играют важную роль в общей теории линий второго порядка...

  Большая Советская энциклопедия

• - понятие операторов теории. Два ограниченных линейных оператора Т и Т* в гильбертовом пространстве называются сопряжёнными, если для всех векторов х и у из Н справедливо соотношение =...

  Большая Советская энциклопедия

• - калибры трехвалковой клети, содержащие общий ручей. Все такие ручьи расположены на среднем валке...

  Энциклопедический словарь по металлургии

• - максимумы, динамически друг на друга влияющие, что сказывается на, направлении и скорости их перемещения...

  Морской словарь

• - См. Капиталовложения...

  Словарь бизнес терминов

• - см. КАПИТАЛОВЛОЖЕНИЯ, СОПРЯЖЕННЫЕ...

  Большой экономический словарь

• - дополнительные затраты, связанные с основными капиталовложениями прямо или косвенно. Например создание транспортной инфраструктуры сооружаемого производственного объекта...

  Большой экономический словарь

• - ...
• - затраты, которые в отличие от прямых не могут быть непосредственно отнесены на изготовление продукции. К таковым относятся, например, административно-управленческие расходы...

  Энциклопедический словарь экономики и права

• - ....

  Энциклопедический словарь экономики и права

• - Два диаметра плоской кривой линии называются сопряженными, когда каждый из них разделяет пополам все хорды, параллельные другому...

  Энциклопедический словарь Брокгауза и Евфрона

"Сопряжённые функции" в книгах

автора

Передача сигналов через рецепторы, сопряженные с ионными каналами

Из книги Биологическая химия автора Лелевич Владимир Валерьянович

Передача сигналов через рецепторы, сопряженные с ионными каналами Рецепторы, сопряженные с ионными каналами, являются интегральными мембранными белками, состоящими из нескольких субъединиц. Они действуют одновременно как ионные каналы и как рецепторы, которые

Опасности, сопряженные с использованием магических стратегий

Из книги Магическое воображение. Практическое руководство по развитию сверхспособностей автора Фаррелл Ник

Опасности, сопряженные с использованием магических стратегий Существует определенная опасность, связанная с использованием магических стратегий, поскольку они являются своеобразными формами добровольной диссоциации сознания, и некоторые души не могут справиться

Сопряжённые гиперболы

БСЭ

Сопряжённые диаметры

Из книги Большая Советская Энциклопедия (СО) автора БСЭ

Сопряжённые дифференциальные уравнения

Из книги Большая Советская Энциклопедия (СО) автора БСЭ

Сопряжённые операторы

Из книги Большая Советская Энциклопедия (СО) автора БСЭ

Сопряжённые реакции

Из книги Большая Советская Энциклопедия (СО) автора БСЭ

Максимизируйте функции мышц, минимизируя функции жировых тканей Этот принцип можно применить к обширному комплексу метаболических процессов, которые принимают решение, произойдут ли рост мускулов и потеря жира. Этот принцип приводит к пониманию, какие процессы следует

3. Потребности, сопряженные с познавательной

Из книги Одаренный ребенок [Иллюзии и реальность] автора Юркевич Виктория Соломоновна

3. Потребности, сопряженные с познавательной Чтобы знать предмет, надо не только знать, что есть это, но и отделить его от того, что это не есть. Проще говоря, с чем же нельзя путать познавательную потребность?Оказывается, есть целый ряд потребностей, как бы сопряженных с

Упражнение 41 Сопряженные приемы

Из книги 50 упражнений для развития навыков манипуляции автора Карре Кристоф

Упражнение 41 Сопряженные приемы Ознакомьтесь со следующим опытом, проведенным социальными психологами в Соединенных Штатах Америки, и попытайтесь распознать используемые приемы. В гипермаркете исследователь предлагает покупателям попробовать кусочек пиццы марки