Коэффициент корреляции отражает степень взаимосвязи между двумя показателями. Всегда принимает значение от -1 до 1. Если коэффициент расположился около 0, то говорят об отсутствии связи между переменными.
Если значение близко к единице (от 0,9, например), то между наблюдаемыми объектами существует сильная прямая взаимосвязь. Если коэффициент близок к другой крайней точке диапазона (-1), то между переменными имеется сильная обратная взаимосвязь. Когда значение находится где-то посередине от 0 до 1 или от 0 до -1, то речь идет о слабой связи (прямой или обратной). Такую взаимосвязь обычно не учитывают: считается, что ее нет.
Расчет коэффициента корреляции в Excel
Рассмотрим на примере способы расчета коэффициента корреляции, особенности прямой и обратной взаимосвязи между переменными.
Значения показателей x и y:
Y – независимая переменная, x – зависимая. Необходимо найти силу (сильная / слабая) и направление (прямая / обратная) связи между ними. Формула коэффициента корреляции выглядит так:
Чтобы упростить ее понимание, разобьем на несколько несложных элементов.
Между переменными определяется сильная прямая связь.
Встроенная функция КОРРЕЛ позволяет избежать сложных расчетов. Рассчитаем коэффициент парной корреляции в Excel с ее помощью. Вызываем мастер функций. Находим нужную. Аргументы функции – массив значений y и массив значений х:
Покажем значения переменных на графике:
Видна сильная связь между y и х, т.к. линии идут практически параллельно друг другу. Взаимосвязь прямая: растет y – растет х, уменьшается y – уменьшается х.
Матрица парных коэффициентов корреляции в Excel
Корреляционная матрица представляет собой таблицу, на пересечении строк и столбцов которой находятся коэффициенты корреляции между соответствующими значениями. Имеет смысл ее строить для нескольких переменных.
Матрица коэффициентов корреляции в Excel строится с помощью инструмента «Корреляция» из пакета «Анализ данных».
Между значениями y и х1 обнаружена сильная прямая взаимосвязь. Между х1 и х2 имеется сильная обратная связь. Связь со значениями в столбце х3 практически отсутствует.
Экономические данные представляют собой количественные характеристики каких-либо экономических объектов или процессов. Они формируются под действием множества факторов, не все из которых доступны внешнему контролю. Неконтролируемые факторы могут принимать случайные значения из некоторого множества значений и тем самым обусловливать случайность данных, которые они определяют. Одной из основных задач в экономических исследованиях является анализ зависимостей между переменными.
Рассматривая зависимости между признаками, необходимо выделить прежде всего два типа связей:
- функциональные - характеризуются полным соответствием между изменением факторного признака и изменением результативной величины: каждому значению признака-фактора соответствуют вполне определенные значения результативного признака. Этот тип связи выражается в виде формульной зависимости. Функциональная зависимость может связывать результативный признак с одним или несколькими факторными признаками. Так, величина заработной платы при повременной оплате труда зависит от количества отработанных часов;
- корреляционные - между изменением двух признаков нет полного соответствия, воздействие отдельных факторов проявляется лишь в среднем, при массовом наблюдении фактических данных. Одновременное воздействие на изучаемый признак большого количества разнообразных факторов приводит к тому, что одному и тому же значению признака-фактора соответствует целое распределение значений результативного признака, поскольку в каждом конкретном случае прочие факторные признаки могут изменять силу и направленность своего воздействия.
Следует иметь в виду, что при наличии функциональной зависимости между признаками можно, зная величину факторного признака, точно определить величину результативного признака. При наличии же корреляционной зависимости устанавливается лишь тенденция изменения результативного признака при изменении величины факторного признака.
Изучая взаимосвязи между признаками, их классифицируют по направлению, форме, числу факторов:
- по направлению связи делятся на прямые и обратные. При прямой связи направление изменения результативного признака совпадает с направлением изменения признака-фактора. При обратной связи направление изменения результативного признака противоположно направлению изменения признака- фактора. Например, чем выше квалификация рабочего, тем выше уровень производительности его труда (прямая связь). Чем выше производительность труда, тем ниже себестоимость единицы продукции (обратная связь);
- по форме (виду функции) связи делят на линейные (прямолинейные) и нелинейные (криволинейные). Линейная связь отображается прямой линией, нелинейная - кривой (парабол ой, гиперболой и т.п.). При линейной связи с возрастанием значения факторного признака происходит равномерное возрастание (убывание) значения результативного признака;
- по количеству факторов, действующих на результативный признак, связи подразделяют на однофакторные (парные) и многофакторные.
Изучение зависимости вариации признака от окружающих условий и составляет содержание теории корреляции .
При проведении корреляционного анализа вся совокупность данных рассматривается как множество переменных (факторов), каждая из которых содержит п наблюдений.
При изучении взаимосвязи между двумя факторами их, как правило, обозначают Х= (х р х 2 , ...,х п) и Y= (у { , у 2 , ...,у и).
Ковариация - это статистическая мера взаимодействия двух переменных. Например, положительное значение ковариации доходности двух ценных бумаг показывает, что доходности этих ценных бумаг имеют тенденцию изменяться в одну сторону.
Ковариация между двумя переменными X и Y рассчитывается следующим образом:
где- фактические значения переменных
X
и г;
Если случайные величины Хи Y независимы, теоретическая ковариация равна нулю.
Ковариация зависит от единиц, в которых измеряются переменные Хи У, она является ненормированной величиной. Поэтому для измерения силы связи между двумя переменными используется другая статистическая характеристика, называемая коэффициентом корреляции.
Для двух переменных X и Y коэффициент парной корреляции
определяется следующим образом:
где SSy - оценки дисперсий величин Хи Y. Эти оценки характеризуют степень разброса значений х { ,х 2 , ...,х п (у 1 ,у 2 ,у п) вокруг своего среднего х (у соответственно), или вариабельность (изменчивость) этих переменных на множестве наблюдений.
Дисперсия (оценка дисперсии) определяется по формуле
В общем случае для получения несмещенной оценки дисперсии сумму квадратов следует делить на число степеней свободы оценки (п-р), где п - объем выборки, р - число наложенных на выборку связей. Так как выборка уже использовалась один раз для определения среднего X, то число наложенных связей в данном случае равно единице (р = 1), а число степеней свободы оценки (т.е. число независимых элементов выборки) равно (п - 1).
Более естественно измерять степень разброса значений переменных в тех же единицах, в которых измеряется и сама переменная. Эту задачу решает показатель, называемый среднеквадратическим отклонением
(стандартным отклонением
) или стандартной ошибкой
переменной X
(переменной Y)
и определяемый соотношением
Слагаемые в числителе формулы (3.2.1) выражают взаимодействие двух переменных и определяют знак корреляции (положительная или отрицательная). Если, например, между переменными существует сильная положительная взаимосвязь (увеличение одной переменной при увеличении второй), каждое слагаемое будет положительным числом. Аналогично, если между переменными существует сильная отрицательная взаимосвязь, все слагаемые в числителе будут отрицательными числами, что в результате дает отрицательное значение корреляции.
Знаменатель выражения для коэффициента парной корреляции [см. формулу (3.2.2)] просто нормирует числитель таким образом, что коэффициент корреляции оказывается легко интерпретируемым числом, не имеющим размерности, и принимает значения от -1 до +1.
Числитель выражения для коэффициента корреляции, который трудно интерпретировать из-за необычных единиц измерения, есть ковариация ХиУ. Несмотря на то что иногда она используется как самостоятельная характеристика (например, в теории финансов для описания совместного изменения курсов акций на двух биржах), удобнее пользоваться коэффициентом корреляции. Корреляция и ковариация представляют, по сути, одну и ту же информацию, однако корреляция представляет эту информацию в более удобной форме.
Для качественной оценки коэффициента корреляции применяются различные шкалы, наиболее часто - шкала Чеддока. В зависимости от значения коэффициента корреляции связь может иметь одну из оценок:
- 0,1-0,3 - слабая;
- 0,3-0,5 - заметная;
- 0,5-0,7 - умеренная;
- 0,7-0,9 - высокая;
- 0,9-1,0 - весьма высокая.
Оценка степени тесноты связи с помощью коэффициента корреляции проводится, как правило, на основе более или менее ограниченной информации об изучаемом явлении. В связи с этим возникает необходимость оценки существенности линейного коэффициента корреляции, дающая возможность распространить выводы по результатам выборки на генеральную совокупность.
Оценка значимости коэффициента корреляции при малых объемах выборки выполняется с использованием 7-критерия Стьюдента. При этом фактическое (наблюдаемое) значение этого критерия определяется по формуле
Вычисленное по этой формуле значение / набл сравнивается с критическим значением 7-критерия, которое берется из таблицы значений /-критерия Стьюдента (см. Приложение 2) с учетом заданного уровня значимости ос и числа степеней свободы (п - 2).
Если 7 набл > 7 табл, то полученное значение коэффициента корреляции признается значимым (т.е. нулевая гипотеза, утверждающая равенство нулю коэффициента корреляции, отвергается). И таким образом делается вывод, что между исследуемыми переменными есть тесная статистическая взаимосвязь.
Если значение г у х близко к нулю, связь между переменными слабая. Если корреляция между случайными величинами:
- положительная, то при возрастании одной случайной величины другая имеет тенденцию в среднем возрастать;
- отрицательная, то при возрастании одной случайной величины другая имеет тенденцию в среднем убывать. Удобным графическим средством анализа парных данных является диаграмма рассеяния , которая представляет каждое наблюдение в пространстве двух измерений, соответствующих двум факторам. Диаграмму рассеяния, на которой изображается совокупность значений двух признаков, называют еще корреляционным полем. Каждая точка этой диаграммы имеет координаты х (. и у г По мере того как возрастает сила линейной связи, точки на графике будут лежать более близко к прямой линии, а величина г будет ближе к единице.
Коэффициенты парной корреляции используются для измерения силы линейных связей различных пар признаков из их множества. Для множества признаков получают матрицу коэффициентов парной корреляции.
Пусть вся совокупность данных состоит из переменной Y = = (у р у 2 , ..., у п) и т переменных (факторов) X, каждая из которых содержит п наблюдений. Значения переменных Y и X, содержащиеся в наблюдаемой совокупности, записываются в таблицу (табл. 3.2.1).
Таблица 3.2.1
|
Переменная Номер наблюдения |
|||||
|
Х тЗ |
|||||
|
Х тп |
На основании данных, содержащихся в этой таблице, вычисляют матрицу коэффициентов парной корреляции R, она симметрична относительно главной диагонали:
Анализ матрицы коэффициентов парной корреляции используют при построении моделей множественной регрессии.
Одной корреляционной матрицей нельзя полностью описать зависимости между величинами. В связи с этим в многомерном корреляционном анализе рассматривается две задачи:
- 1. Определение тесноты связи одной случайной величины с совокупностью остальных величин, включенных в анализ.
- 2. Определение тесноты связи между двумя величинами при фиксировании или исключении влияния остальных величин.
Эти задачи решаются соответственно с помощью коэффициентов множественной и частной корреляции.
Решение первой задачи (определение тесноты связи одной случайной величины с совокупностью остальных величин, включенных в анализ) осуществляется с помощью выборочного коэффициента множественной корреляции по формуле
где R - R [см. формулу (3.2.6)]; Rjj - алгебраическое дополнение элемента той же матрицы R.
Квадрат коэффициента множественной корреляции Щ j 2 j _j J+l m принято называть выборочным множественным коэффициентом детерминации ; он показывает, какую долю вариации (случайного разброса) исследуемой величины Xj объясняет вариация остальных случайных величин Х { , Х 2 ,..., Х т.
Коэффициенты множественной корреляции и детерминации являются величинами положительными, принимающими значения в интервале от 0 до 1. При приближении коэффициента R 2 к единице можно сделать вывод о тесноте взаимосвязи случайных величин, но не о ее направлении. Коэффициент множественной корреляции может только увеличиваться, если в модель включать дополнительные переменные, и не увеличится, если исключать какие-либо из имеющихся признаков.
Проверка значимости коэффициента детерминации осуществляется путем сравнения расчетного значения /’-критерия Фишера
с табличным F
raбл. Табличное значение критерия (см. Приложение 1) определяется заданным уровнем значимости а и степенями свободы v l = mnv 2 = n-m-l.
Коэффициент R 2
значимо отличается от нуля, если выполняется неравенство
Если рассматриваемые случайные величины коррелируют друг с другом, то на величине коэффициента парной корреляции частично сказывается влияние других величин. В связи с этим возникает необходимость исследования частной корреляции между величинами при исключении влияния других случайных величин (одной или нескольких).
Выборочный частный коэффициент корреляции определяется по формуле
где R Jk , Rjj, R kk - алгебраические дополнения к соответствующим элементам матрицы R [см. формулу (3.2.6)].
Частный коэффициент корреляции, также как и парный коэффициент корреляции, изменяется от -1 до +1.
Выражение (3.2.9) при условии т = 3 будет иметь вид
Коэффициент г 12(3) называется коэффициентом корреляции между х { и х 2 при фиксированном х у Он симметричен относительно первичных индексов 1, 2. Его вторичный индекс 3 относится к фиксированной переменной.
Пример 3.2.1. Вычисление коэффициентов парной,
множественной и частной корреляции.
В табл. 3.2.2 представлена информация об объемах продаж и затратах на рекламу одной фирмы, а также индекс потребительских расходов за ряд текущих лет.
- 1. Построить диаграмму рассеяния (корреляционное поле) для переменных «объем продаж» и «индекс потребительских расходов».
- 2. Определить степень влияния индекса потребительских расходов на объем продаж (вычислить коэффициент парной корреляции).
- 3. Оценить значимость вычисленного коэффициента парной корреляции.
- 4. Построить матрицу коэффициентов парной корреляции по трем переменным.
- 5. Найти оценку множественного коэффициента корреляции.
- 6. Найти оценки коэффициентов частной корреляции.
1. В нашем примере диаграмма рассеяния имеет вид, приведенный на рис. 3.2.1. Вытянутость облака точек на диаграмме рассеяния вдоль наклонной прямой позволяет сделать предположение, что существует некоторая объективная тенденция прямой линейной связи между значениями переменных Х 2 Y (объем продаж).
Рис. 3.2.1.
2. Промежуточные расчеты при вычислении коэффициента корреляции между переменными Х 2 (индекс потребительских расходов) и Y (объем продаж) приведены в табл. 3.2.3.
Средние значения случайных величин Х 2 и Y, которые являются наиболее простыми показателями, характеризующими последовательности jCj, х 2 , ..., х 16 и y v y 2 , ..., у 16 , рассчитаем по следующим формулам:
|
Объем продаж Y, тыс. руб. |
Индекс потреби тельских расходов |
Объем продаж Y, тыс. руб. |
Индекс потреби тельских расходов |
||
Таблица 3.2.3
|
л:, - х |
(И - У)(х, - х) |
(х, - х) 2 |
(у,- - у) 2 |
||||
Дисперсия
характеризует степень разброса значений x v x 2 ,х :
Рассмотрим теперь решение примера 3.2.1 в Excel.
Чтобы вычислить корреляцию средствами Excel, можно воспользоваться функцией =коррел (), указав адреса двух столбцов чисел, как показано на рис. 3.2.2. Ответ помещен в D8 и равен 0,816.
Рис. 3.2.2.
(Примечание. Аргументы функции коррел должны быть числами или именами, массивами или ссылками, содержащими числа. Если аргумент, который является массивом или ссылкой, содержит текст, логические значения или пустые ячейки, то такие значения игнорируются; однако ячейки, которые содержат нулевые значения, учитываются.
Если массив! и массив2 имеют различное количество точек данных, то функция коррел возвращает значение ошибки #н/д.
Если массив1 либо массив2 пуст или если о (стандартное отклонение) их значений равно нулю, то функция коррел возвращает значение ошибки #дел/0 !.)
Критическое значение /-статистики Стьюдента может быть также получено с помощью функции стьюдраспробр 1 пакета Excel. В качестве аргументов функции необходимо задать число степеней свободы, равное п - 2 (в нашем примере 16 - 2= 14) и уровень значимости а (в нашем примере а = 0,1) (рис. 3.2.3). Если фактическое значение /-статистики, взятое по модулю, больше критического, то с вероятностью (1 - а) коэффициент корреляции значимо отличается от нуля.
Рис. 3.2.3. Критическое значение /-статистики равно 1,7613
В Excel входит набор средств анализа данных (так называемый пакет анализа), предназначенный для решения различных статистических задач. Для вычисления матрицы коэффициентов парной корреляции R следует воспользоваться инструментом Корреляция (рис. 3.2.4) и установить параметры анализа в соответствующем диалоговом окне. Ответ будет помещен на новый рабочий лист (рис. 3.2.5).
1 В Excel 2010 название функции стьюдраспробр изменено на стью-
ДЕНТ.ОБР.2Х.
Рис. 3.2.4.
Рис. 3.2.5.
- Основоположниками теории корреляции считаются английские статистики Ф. Гальтон (1822-1911) и К. Пирсон (1857-1936). Термин «корреляция» был заимствован из естествознания и обозначает «соотношение, соответствие». Представление о корреляции как взаимозависимости между случайными переменными величинами лежит воснове математико-статистической теории корреляции.
|
Z 1 (t) |
Z 2 (t) |
t |
y(t) |
|
|
Z 1 (t) | ||||
|
Z 2 (t) | ||||
|
t | ||||
|
y(t) |
Основная задача, стоящая при выборе факторов включаемых в корреляционную модель, заключается в том, чтобы ввести в анализ все основные факторы, влияющие на уровень изучаемого явления. Однако, введение в модель большого числа факторов нецелесообразно, правильнее отобрать только сравнительно небольшое число основных факторов, находящихся предположительно в корреляционной зависимости с выбранным функциональным показателем.
Это можно сделать с помощью так называемого двух стадийного отбора. В соответствии с ним в модель включаются все предварительно отобранные факторы. Затем среди них на основе специальной количественной оценки и дополнительно качественного анализа выявляются несущественно влияющие факторы, которые постепенно отбрасываются пока не останутся те, относительно которых можно утверждать, что имеющийся статистический материал согласуется с гипотезой об их совместном существенном влиянии на зависимую переменную при выбранной форме связи.
Свое наиболее законченное выражение двух стадийный отбор получил в методике так называемого многошагового регрессионного анализа, при котором отсев несущественных факторов происходит на основе показателей их значимости, в частности на основе величины t ф - расчетном значении критерия Стьюдента.
Рассчитаем t ф по найденным коэффициентам парной корреляции и сравним их с t критическим для 5% уровня значимости (двустороннего) и 18 степенями свободы (ν = n-2).
где r – значение коэффициента парной корреляции;
n – число наблюдений (n=20)
При сравнении t ф для каждого коэффициента с t кр = 2,101 получаем, что найденные коэффициенты признаются значимыми, т.к. t ф > t кр.
t ф для r yx 1 = 2, 5599 ;
t ф для r yx 2 = 7,064206 ;
t ф для r yx 3 = 2,40218 ;
t ф для r х1 x 2 = 4,338906 ;
t ф для r х1 x 3 = 15,35065;
t ф для r х2 x 3 = 4,749981
При отборе факторов включаемых в анализ к ним предъявляются специфические требования. Прежде всего, показатели, выражающие эти факторы должны быть количественно измеримы.
Факторы, включаемые в модель, не должны находиться между собой в функциональной или близкой к ней связи. Наличие таких связей характеризуется мультиколлинеарностью.
Мультиколлинеарность свидетельствует о том, что некоторые факторы характеризуют одну и ту же сторону изучаемого явления. Поэтому их одновременное включение в модель нецелесообразно, так как они в определённой степени дублируют друг друга. Если нет особых предположений говорящих в пользу одного из этих факторов, следует отдавать предпочтение тому из них, который характеризуется большим коэффициентом парной (или частной) корреляции.
Считается, что предельным является значение коэффициента корреляции между двумя факторами, равное 0,8.
Мультиколлинеарность обычно приводит к вырождению матрицы переменных и, следовательно, к тому, что главный определитель уменьшает свое значение и в пределе становится близок к нулю. Оценки коэффициентов уравнения регрессии становятся сильно зависимыми от точности нахождения исходных данных и резко изменяют свои значения при изменении количества наблюдений.
Коллинеарными являются факторы …
И коллинеарны.
4. В модели множественной регрессии определитель матрицы парных коэффициентов корреляции между факторами , и близок к нулю. Это означает, что факторы , и … мультиколлинеарность факторов.
5. Для эконометрической модели линейного уравнения множественной регрессии вида построена матрица парных коэффициентов линейной корреляции (y – зависимая переменная; х (1) , х (2) , х (3) , x (4) – независимые переменные):
Коллинеарными (тесно связанными) независимыми (объясняющими) переменными не являются
…x (2)
и x (3)
1. Дана таблица исходных данных для построения эконометрической регрессионной модели:
Фиктивными переменными не являются
…
стаж работы
производительность труда
2. При исследовании зависимости потребления мяса от уровня дохода и пола потребителя можно рекомендовать …
использовать фиктивную переменную – пол потребителя
разделить совокупность на две: для потребителей женского пола и для потребителей мужского пола
3. Изучается зависимость цены квартиры (у
) от ее жилой площади (х
) и типа дома. В модель включены фиктивные переменные, отражающие рассматриваемые типы домов: монолитный, панельный, кирпичный. Получено уравнение регрессии: ,
где 
, 
Частными уравнениями регрессии для кирпичного и монолитного являются …
для типа дома кирпичный 
для типа дома монолитный 
4. При анализе промышленных предприятий в трех регионах (Республика Марий Эл, Республика Чувашия, Республика Татарстан) были построены три частных уравнения регрессии:
для Республики Марий Эл;
для Республики Чувашия;
для Республики Татарстан.
Укажите вид фиктивных переменных и уравнение с фиктивными переменными, обобщающее три частных уравнения регрессии.
5. В эконометрике фиктивной переменной принято считать …
переменную, принимающую значения 0 и 1
описывающую количественным образом качественный признак
1. Для регрессионной модели зависимости среднедушевого денежного дохода населения (руб., у ) от объема валового регионального продукта (тыс. р., х 1 ) и уровня безработицы в субъекте (%, х 2 ) получено уравнение . Величина коэффициента регрессии при переменной х 2 свидетельствует о том, что при изменении уровня безработицы на 1% среднедушевой денежный доход ______ рубля при неизменной величине валового регионального продукта.
изменится на (-1,67)
2. В уравнении линейной множественной регрессии:
, где – стоимость основных фондов (тыс. руб.); – численность занятых (тыс. чел.); y
– объем промышленного производства (тыс. руб.) параметр при переменной х 1
, равный 10,8, означает, что при увеличении объема основных фондов на _____ объем промышленного производства _____ при постоянной численности занятых.
на 1 тыс. руб. … увеличится на 10,8 тыс. руб.
3. Известно, что доля остаточной дисперсии зависимой переменной в ее общей дисперсии равна 0,2. Тогда значение коэффициента детерминации составляет … 0,8
4. Построена эконометрическая модель для зависимости прибыли от реализации единицы продукции (руб., у ) от величины оборотных средств предприятия (тыс. р., х 1 ): . Следовательно, средний размер прибыли от реализации, не зависящий от объема оборотных средств предприятия, составляет _____ рубля. 10,75
5. F-статистика рассчитывается как отношение ______ дисперсии к ________ дисперсии, рассчитанных на одну степень свободы. факторной … остаточной
1. Для эконометрической модели уравнения регрессии ошибка модели определяется как ______ между фактическим значением зависимой переменной и ее расчетным значением. Разность
2. Величина называется … случайной составляющей
3. В эконометрической модели уравнения регрессии величина отклонения фактического значения зависимой переменной от ее расчетного значения характеризует … ошибку модели
4. Известно, что доля объясненной дисперсии в общей дисперсии равна 0,2. Тогда значение коэффициента детерминации составляет … 0,2
5. При методе наименьших квадратов параметры уравнения парной линейной регрессии 
определяются из условия ______ остатков .
минимизации суммы квадратов
1. Для обнаружения автокорреляции в остатках используется …
статистика Дарбина – Уотсона
2. Известно, что коэффициент автокорреляции остатков первого порядка равен –0,3. Также даны критические значения статистики Дарбина – Уотсона для заданного количества параметров при неизвестном и количестве наблюдений , . По данным характеристикам можно сделать вывод о том, что …автокорреляция остатков отсутствует
